「第６６２回　女子中の入試問題　場合の数 １」

前回まで、近年に女子中の入試で出された「文章題」の問題について見てきました。

今回からは、「場合の数」の問題を取り扱っていきます。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】ＡさんとＢさんがあるゲームで５回対戦します。勝ち負けは１回ごとに必ず決まり、引き分けはありません。Ａさんが続けて負けることなく３勝２敗となるのは何通りありますか。

（品川女子学院中等部　２０２３年　問題２－（８）　問題文一部変更）

【考え方】

Ａさんがゲームに勝つことを○、負けること●で表すとすると、次のような問題として考えることができます。

連続しない●の入れ方を先に考えると、次のの６通りがあります。

○は残りの３つの空欄にそのまま入れればよいので、答えは６通りです。

答え　６通り

本問は、順序よく書き出すことを確認できる問題です。

なお、「５つの空欄から●を入れる連続しない２つの空欄を選ぶ」のように考えると、次のような計算で求めることもできます。

5Ｃ2＝（５×４）/（２×１）＝１０通り　…　２つの空欄の選び方

連続する●を１組とし、（●、●）、○、○、○を入れる４つの空欄があると考えます。

4Ｃ1＝４通り　…　（●、●）を入れる空欄の選び方

１０通り－４通り＝６通り

２問目も、基本レベルの問題です。

【問題】あるお店には、あめ、ラムネ、チョコレートの３種類のお菓子がたくさん置かれています。香さんはこの中から４個のお菓子を買うことができます。買うお菓子の選び方は何通りありますか。ただし、買わないお菓子があってもかまいません。

（香蘭女学校中等科　２０２３年　問題１－⑫）　問題文一部変更）

【考え方】

あめの個数で場合分けをします。

１通り＋２通り＋３通り＋４通り＋５通り＝１５通り

答え　１５通り

本問も、順序よく書き出すことを確認できる問題です。

なお、「○｜解法（まる・棒解法）」を用いる解き方もあります。

○でお菓子を、｜でお菓子の種類の区切りを表すことにすると、問題を「○○○○｜｜」を並べる問題に読みかえることができます。

例えば、「○｜○｜○○」は「あめ１個／ラムネ１個／チョコレート２個」を表します。

このように４個の○と２個の｜を、１問目と同じように、「６個のマスに○と｜を入れる」と考えます。

6Ｃ2＝（６×５）/（２×１）＝１５通り　…　「｜」の入れ方

○は残りの４つの空欄にそのまま入れればよいので、答えは１５通りです。

３問目は、定番とは少し違う円卓問題です。

【問題】６人がけの円卓に、Ａさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさん、Ｅさん、Ｆさんの６人が座っていました。途中で席をかえて、はじめにとなりに座っていた人のとなりにならないように図１のように座りました。以下の条件からはじめの座り方を考え、解答らんにＡ～Ｆをかきなさい。

・Ａさんは座っていた席から左ななめ前に見える席の１つに座った。

・ＢさんとＣさんは１つとなりにずれた。

・はじめ、ＤさんとＡさんはとなりではなかった。

（頌栄女子学院中学校　２０２３年　問題１－（６））

【考え方】

「Ａさんは座っていた席から左ななめ前に見える席の１つに座った」ので、席をかえる前は今の席の右ななめ前に見える席の１つであったことになります。

「ＢさんとＣさんは１つとなりにずれた」のですが、「はじめにとなりに座っていた人のとなりにならない」ように席をかわったので、それぞれ逆向きにずれて今の席になったことがわかります。

よって、Ａさん、Ｂさん、Ｃさんのはじめの席は、次の（ア）、（イ）の場合があります。

「はじめ、ＤさんとＡさんはとなりではなかった」と、席をかわった後の両どなりがＣさん、Ｅさんであることから、はじめのＤさんのとなりにＡさん、Ｃさん、Ｅさんがいなかったことがわかります。

よって、はじめのＤさんの席はＢさんの左どなりです。

ＥさんとＦさんも席をかわったので、はじめの席は次の２通りが考えられます。

このうち、「はじめにとなりに座っていた人のとなりにならない」という条件を満たしているのは（イ）です。

本問も、順序よく調べていく力を確認できる問題です。

考えられる場合の数が２通りだけなので、図を２つかいて考えるとよいでしょう。

最後は、「当選確実」問題です。

【問題】２人の代表者を決める選挙に葉子さんを含めた１０人が立候補しています。２５０人が一人１票を１０人のうちだれかに投票するとき、１回の投票で葉子さんが必ず代表者に選ばれるためには何票以上必要ですか。

（横浜雙葉中学校　２０２３年　問題１－（２））

【考え方】

２人の代表者を決めますから、１０人の立候補者のうち３位以下になると落選します。

また、「何票以上必要」とありますから、「最も接戦になったとき」を考えます。

つまり、立候補者は１０人いますが、実質、「３人の争い」となります。

よって、最も接戦になったときの様子は、次のように表すことができます。

２５０票÷３人＝８３票あまり１票

ですから、葉子さんが「余りの１票」をとれば必ず代表者に選ばれます。

８３票＋１票＝８４票

答え　８４票以上

本問は、（投票数）÷（当選者数＋１）の商より多く得票すると確実に当選するという「当選確実」問題の基本が確認できます。

今回は、近年の女子中の入試で出された「場合の数」の中から４問をご紹介しました。

「場合の数」では、はじめの３問のように、順序よく書き出したり調べたりする力が最も大切です。

さらに、４問目や１，２問目の別解のような「知識」もそれに劣らず重要です。

書き出す力がついてきたら、問題に応じた「知識」を増やしていけるような問題演習をしましょう。