第660回 女子中の入試問題 文章題 3
「第６６０回 女子中の入試問題 文章題 ３」
ここまで、近年に女子中の入試で出された「文章題」の中から、「消去算」、「方陣算」、「差集め算」の問題を見てきました。
今回は「仕事算」と「ニュートン算」の問題を取り扱います。
１問目は基本レベルの仕事算の問題です。
【問題】Ａさんが１人でするとちょうど４０分かかる仕事があります。この仕事を、ＡさんとＢさんの２人ですると２４分、ＡさんとＣさんの２人ですると１５分かかります。この仕事を、Ａさん、Ｂさん、Ｃさんの３人ですると、何分かかりますか。
（吉祥女子中学校 ２０２３年 問題１－（５））
【考え方】
仕事算には
単位時間（例：１分間）あたりの仕事量を１とする解き方
と
全体の仕事量を１またはかかる時間の最小公倍数とする解き方
の２つがあります。
本問は「人名のある仕事算」ですので、全体の仕事量を時間の最小公倍数（または１）とする解き方が考えやすいでしょう。
そこで、Ａさんだけですると４０分、ＡさんとＢさんの２人ですると２４分、ＡさんとＣさんの２人ですると１５分かかりますから、全体の仕事量を４０と２４と１５の最小公倍数の１２０とします。
１２０÷４０分＝３ … Ａさんが１分間にする仕事量
１２０÷２４分＝５ … ＡさんとＢさんが１分間にする仕事量
１２０÷１５分＝８ … ＡさんとＣさんが１分間にする仕事量
ですから、Ｂさんが１分間にする仕事量は
５－３＝２
Ｃさんが１分間にする仕事量は
８－３＝５
とわかります。
３＋２＋５＝１０ … ３人が１分間にする仕事量
１２０÷１０＝１２分
答え １２分
本問は、仕事算の基本の考え方が確認できる問題です。
なお、Ａさんが１分間にする仕事量を１とし、全体の仕事量を４０、ＡさんとＢさんが１分間にする仕事量を５/３、ＡさんとＣさんが１分間にする仕事量を８/３のようにして解いても構いません。
２問目は応用レベルの仕事算の問題です。
【問題】ある仕事をＡが１人で行うと、ちょうど３６日かかります。この仕事を、ＡとＢの２人で行うと、２７日では少し残ってしまい、２８日目に余裕をもって終わらせることができます。この仕事をＢが１人で行うと、何日以上何日以下かかると考えられますか。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図を書きなさい。
（洗足学園中学校 ２０２３年 問題３－（４））
【考え方】
ＡとＢの２人で行ったときにかかる日数に幅がありますから、全体の仕事量を日数の最小公倍数とする方法は使えません。
そこで、全体の仕事量を１として解いていきます。
１÷３６日＝１/３６ … Ａが１日にする仕事量
また、
１÷２７日＝１/２７
１÷２８日＝１/２８
なので ＡとＢが１日にする仕事量は１/２８より多く１/２７より少ないことがわかります。
もし、ＡとＢが１日にする仕事量が１/２８であればＢが１日にする仕事量は
１/２８－１/３６＝１/１２６
１/２７であればＢが１日にする仕事量は
１/２７－１/３６＝１/１０８
です。
Ｂが１日にする仕事量が１/１２６より多いとき
１÷１/１２６＝１２６日 → １２６日目に余裕をもって終わらせることができる
Ｂが１日にする仕事量が１/１０８より少ないとき
１÷１/１０８＝１０８日 → １０８日では終わらない
よって、１０９日以上１２６日以下とわかります。
答え １０９日以上１２６日以下
本問は、仕事にかかる日数に幅（範囲）がありますから、最も少ない場合と最も多い場合の２つに分けて考えることが大切です。
最後も２問目と同じ学校から、ニュートン算の問題を見ていきます。
【問題】常に一定の量の水が流れこんでいる貯水池があります。この貯水池が満水の状態から空になるまで排水するのに、６台のポンプでは３５０分、５台のポンプでは４５０分かかります。ところが、貯水池の内壁にヒビが入り、貯水池の水の量が５割を超えると、常に一定の水がもれるようになりました。この状態で５台のポンプを使って満水から空になるまで排水したところ、４３５分かかりました。このとき、内壁のヒビからもれる水の量は、ポンプ１台あたりの排出量の何倍ですか。ただし、ポンプ１台が排出できる水の量はすべて同じであるものとします。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。
（洗足学園中学校 ２０２４年 問題３－（４））
【考え方】
ニュートン算には、線分図解法と水そう解法の２つの方法があります。
ここでは、水そう解法で考えていくことにします。
水そう解法では
・水そうの容積＝時間の最小公倍数
・単位時間あたり（本問では１分あたり）に減る水の量に着目する
が基本です。
３５０と４５０の最小公倍数は３１５０です。 … （ア）
３１５０÷３５０＝９/分 …（イ）
３１５０÷４５０＝７/分 …（ウ）
（イ）と（ウ）のちがいに着目します。
ですから、１分に流入する水の量は
２/分×６台－９/分＝３/分
とわかります。
次に、内壁にヒビが入ったときの様子を図に表します。
「貯水池の水の量が５割を超えると、常に一定の水がもれる」ので、５割以下になってから空になるまでの時間は
４５０分÷２＝２２５分 … ■分
です。
よって、
□分＝４３５分－２２５分＝２１０分
とわかります。
（３１５０÷２）÷２１０分＝７.５/分 …（エ）
１０/分＋もれる水の量－３/分＝７.５/分
なので
もれる水の量＝０.５/分
です。
０.５/分÷２/分＝０.２５（倍）
答え ０.２５倍（１/４倍）
本問は、ニュートン算の基本が確認できる問題です。
問題前半の満水量、ポンプ１台あたりの排水量、流れこむ水の量の求め方は基本通りですから、もし、まちがえたときは前半部分にミスがないか、後半部分の考え方が正しいかの２つに分けてチェックと修正を行いましょう。
今回は、２０２３年度と２０２４年度の女子中の入試で出された「仕事算」と「ニュートン算」の問題をご紹介しました。
「仕事量」や「ニュートン算」が苦手なときは、「仕事算」は「人名」の有無で解き方が選べるようになること、「ニュートン算」は線分図解法か水そう解法のどちらか一方をマスターできることを目標に、練習をしていきましょう。
