第658回 女子中の入試問題 文章題 1
「第６５８回 女子中の入試問題 文章題 １」
今回から、近年に女子中の入試で出された「文章題」の問題を取り扱っていきます。
1回目の今回は「消去算」と「方陣算」の問題を見ていきます。
では、１問目です。
【問題】アメ７個とチョコレート２個を買うと４１０円で、アメ２０個とチョコレート３個を買うと９１５円でした。ただし、アメを１０個以上買うとアメの１個あたりの代金はすべて１割引きになります。チョコレートは１個あたり何円ですか。
（洗足学園中学校 ２０２３年 問題２－（３））
【考え方】
２種類の品物について、２通りの買い物をしたときの代金が与えられていますから、消去算の問題だとわかります。
はじめに、アメ１個の代金を１０□円とすると、１０個以上買ったときの１個あたりの代金は
１０□×（１－０.１）＝９□（円）
と表せます。
さらに、チョコレート１個の代金を①円として、条件を式に整理します。
１０□円×７個＋①円×２個＝４１０円
９□円×２０個＋①円×３個＝９１５円
↓
７０□＋②＝４１０ … ア
１８０□＋③＝９１５ … イ
②と③の最小公倍数の⑥にそろえます。
２１０□＋⑥＝１２３０ … ア×３
３６０□＋⑥＝１８３０ … イ×２
ア×３ の式と イ×２ の式のちがいに着目します。
３６０□－２１０□＝１８３０－１２３０ → １□＝４
よって、アメ１個の代金は
４円×１０＝４０円
です。
（４１０円－４０円×７個）÷２個＝６５円
答え ６５円
本問は、消去算の基本が確認できる問題です。
問題文から消去算だと読み取れることと、その整理がポイントです。
消去算の整理方法には、解答例のような式の他に表や線分図もあります。
どれかひとつは必ずマスターしておきましょう。
では、２問目です。
【問題】同じ大きさの正方形の形をした、赤色と青色のタイルが手元にたくさんあります。これらのタイルを敷き詰めて大きな正方形を作ろうとしました。
（１）タイルの色を気にせずに、すべてのタイルを敷き詰めて正方形を作ろうとしたところ，タイルが１枚足りませんでした。そこで、今度は手元にある枚数のタイルで、できるだけ大きな正方形を作ったところ、タイルは３６枚余りました。はじめに手元にあったタイルは全部で何枚ですか。
（２）タイルをすべて手元に戻して、今度は図のように、同じ色のタイルが上下左右に並ばないように敷き詰めていくことにしました。青色のタイルをすべて使い切ると、ちょうどある大きさの正方形ができ、赤色のタイルだけが手元に１０４枚残りました。そこで、青色のタイルだけを追加して、さらにこの正方形と同じようにタイルを敷き詰めて、できるだけ大きな正方形を作りました。このとき、赤色のタイルは何枚か残りますが、青色のタイルをこれ以上追加しても、これより大きい正方形は作れません。追加して並べた青色のタイルは何枚ですか。考えられる枚数をすべて答えなさい。ただし、解答欄はすべて使うとは限りません。
（浦和明の星女子中学校 ２０２４年 問題５）
【考え方】
（１）
タイルを正方形の形に並べるので、方陣算だとわかります。
方陣算を解くときは、絵をかいて考えることが基本です。
正方形に並べることができたタイルの外側部分に着目します。
□枚＋□枚＋１枚＝３６枚＋１枚 → □＝１８
１８枚×１８枚＋３６枚＝３６０枚
答え ３６０枚
（２）わかることを順に整理していきます。
（１）より、青色のタイルを追加する前に作った正方形に使われているタイルの枚数は
３６０枚－１０４枚＝２５６枚
です。
２５６＝１６×１６
なので、１辺に１６枚のタイルが並ぶ正方形を作ったことがわかります。
下の例のように、１辺に並ぶタイルの枚数が偶数となる場合、正方形に使われている赤色と青色のタイルの枚数は同じです。
２５６枚÷２＝１２８枚 … はじめに手元にあった青色のタイル
１２８枚＋１０４枚＝２３２枚 … はじめに手元にあった赤色のタイル
次に、１辺に並ぶタイルが１７枚以上のときに必要な赤色のタイルの枚数を調べます。
１辺が１７枚のとき１７枚×１７枚＝２８９枚＝１４４枚＋１４５枚 → 作ることができます。
１辺が１８枚のとき１８枚×１８枚＝３２４枚＝１６２枚＋１６２枚 → 作ることができます。
１辺が１９枚のとき１９枚×１９枚＝３６１枚＝１８０枚＋１８１枚 → 作ることができます。
１辺が２０枚のとき２０枚×２０枚＝４００枚＝２００枚＋２００枚 → 作ることができます。
１辺が２１枚のとき２１枚×２１枚＝４４１枚＝２２０枚＋２２１枚 → 作ることができます。
１辺が２２枚のとき２２枚×２２枚＝４８４枚＝２４２枚＋２４２枚 → 作ることができません。
以上より、青色のタイルを追加して作ることができる最大の正方形は１辺に並ぶタイルが２１枚のときで、使われるタイルの枚数は赤色が２２０枚と青色が２２１枚、または、赤色が２２１枚と青色が２２０枚の２通りが考えられます。
ですから、追加した青色のタイルの枚数は
２２１枚－１２８枚＝９３枚
または
２２０枚－１２８枚＝９２枚
とわかります。
答え ９２枚、９３枚
本問の（１）は方陣算の基本が確認できる問題です。
（２）は応用レベルの問題です。
解答例では順に調べていきましたが、「もし、青色のタイルも赤色のタイルと同じ枚数あれば…」と仮定して、最も大きな正方形の１辺を見つけることもできます。
今回は、２０２３年度と２０２４年度の女子中の入試で出された「消去算」と「方陣算」の問題をご紹介しました。
もし、正解できなかったときは、はじめに基本の解き方がマスターできているかを確認し、さらに応用のどの部分ができなかったかを調べて、基本レベルよりも難しい文章題を解く力を伸ばしていきましょう。
