「第６５２回　女子中の入試問題　平面図形 ５」

前回は、２０２３年度に女子中で出された「平面図形」の中から「辺の比と面積比」がテーマの問題を取り扱いました。

今回は、「正六角形」がテーマの問題を見ていきます。

では、１問目です。

【問題】下の図のような、正方形ＡＢＣＤと正六角形ＣＥＦＧＨＩを重ね合わせた図形があります。直線ＣＦと辺ＡＤの交わる点をＪとします。次の□に当てはまる数を求めなさい。

（１）図の角○あの大きさは□度です。

（２）図の角○いの大きさは□度です。

（３）四角形ＣＦＧＩの面積は、正六角形ＣＥＦＧＨＩの面積の□倍です。

（横浜共立学園中学校　２０２３年　問題４）

【考え方】

（１）

角○あ は四角形ＡＧＦＪの内角ＡＪＦの外角です。

四角形ＡＢＣＤは正方形ですから、角Ａは９０度です。

また、四角形ＣＦＧＩは長方形ですから、角Ｆも９０度です。

３６０度－（９０度×２＋５３度）＝１２７度　…　角○う

よって、角○あ の大きさは

１８０度－１２７度＝５３度

です。

答え　５３

（２）

ＡＤとＢＣは平行なので、角○あ と角○え（錯角）の大きさは同じです。

また、角○お は二等辺三角形ＥＦＣの底角です。

（１８０度－１２０度）÷２＝３０度　…　角○お

よって、角○い の大きさは

９０度－（５３度＋３０度）＝７度

です。

答え　７

（３）

正六角形の６分割を利用します。

四角形ＣＦＧＩの面積は★４つ分、正六角形ＣＥＦＧＨＩの面積は★６つ分です。

４÷６＝２/３（倍）

答え　２/３

本問は、正六角形の角の大きさや面積の均等分割の知識が確認できる問題です。

正六角形の均等分割は大切な知識なので、使えないときはすぐに覚え直しましょう。

続けて、２問目です。

【問題】面積が６０㎠の正六角形ＡＢＣＤＥＦについて、次の問いに答えなさい。

（１）三角形ＡＢＦの面積は何㎠ですか。

（２）辺ＡＢ、辺ＥＦを２等分する点をそれぞれＬ、Ｍとします。このとき、辺ＡＦと直線ＬＭは平行になります。

① ＡＦ：ＬＭ：ＢＥを最も簡単な整数の比で答えなさい。

② 直線ＡＭと直線ＬＦが交わる点をＰとするとき、三角形ＡＰＦの面積は何㎠ですか。途中の式や考え方なども書きなさい。

③ 辺ＣＤを２等分する点をＮとします。影のついた部分の面積は何㎠ですか。

（吉祥女子中学校　２０２３年　問題３）

【考え方】

（１）

正六角形の６分割が利用できます。

６０㎠×１/６＝１０㎠

答え　１０㎠

（２）－①

正六角形を６つの正三角形に分けます。

さらに、正三角形を小さな正三角形に区切ると次のようになります。

よって、

ＡＦ：ＬＭ：ＢＥ＝２：３：４

です。

答え　２：３：４

（２）－②

①の結果を利用します。

三角形ＡＰＦと三角形ＭＰＬは相似で、相似比は

ＡＦ：ＭＬ＝２：３＝ＰＦ：ＰＬ

です。

よって、三角形ＡＰＦと三角形ＡＰＬの面積比は２：３です。

また、

ＡＬ：ＬＢ＝１：１

なので、三角形ＡＬＦの面積（★）は三角形ＡＢＦの面積の１/２です。

１０㎠×１/２＝５㎠　…　三角形ＡＬＦの面積（★）

５㎠×２/（２＋３）＝２㎠

答え　２㎠

（２）－③

②の結果を利用します。

直線ＬＮ、ＭＮを引くと、区切られた部分の面積は次のようになります。

６０㎠－（２㎠×３＋３㎠×６）＝３６㎠

答え　３６㎠

本問は、正六角形の均等分割と相似の利用が確認できる問題です。

（２）－③は少し難しいのですが、（１）からの誘導に気づけると正解できると思います。

３問目を見ていきましょう。

【問題】正六角形ＡＢＣＤＥＦがあり、辺ＥＦ上に点Ｇがあります。ＡＣとＢＥの交点をＨ、ＣＧとＢＥの交点をＩとします。また、ＩはＨＥのまん中の点です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）三角形ＡＢＨの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。

（２）ＥＧ：ＧＦを最も簡単な整数の比で表しなさい。

（３）三角形ＣＨＩの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。

（白百合学園中学校　２０２３年　問題３）

【考え方】

（１）

正六角形の６分割を利用します。

三角形ＡＣＢと三角形ＡＣＯと三角形ＦＤＯと三角形ＦＤＥは合同なので、

ＢＨ＝ＨＯ＝ＯＪ＝ＪＥ

です。

また、三角形ＡＢＯの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの１/６です。

よって、三角形ＡＢＨ（★）の面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の

１/６×１/２＝１/１２（倍）

です。

答え　１/１２倍

（２）

（１）の図より、ＢＨ＝１とするとＨＥ＝３ですから、

ＩＥ＝３÷２＝１.５

ＩＢ＝１＋１.５＝２.５

です。

三角形ＩＢＣと三角形ＩＥＧは相似で、相似比は

ＩＢ：ＩＥ＝２.５：１.５＝５：３

です。

よって、ＢＣ＝⑤とすると、

ＥＧ：ＧＦ＝③：（⑤－③）＝３：２

です。

答え　３：２

（３）

（２）より、

ＢＨ：ＨＩ：ＩＥ＝１：１.５：１.５＝２：３：３

です。

また、正六角形の６分割より、三角形ＢＣＥの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の２/６＝１/３です。

三角形ＣＨＩの面積は三角形ＢＣＥの面積の

３/（２＋３＋３）＝３/８

ですから、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の

１/３×３/８＝１/８（倍）

です。

答え　１/８倍

本問も、正六角形の均等分割と相似の利用が確認できる問題で、前問と同様に誘導形式となっています。

（２）で点Ｇを「辺ＥＦの真ん中のように見えるから…」と決めつけないようにして、全問正解を目指しましょう。

今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「正六角形」をテーマとした問題をご紹介しました。

正六角形の面積を均等に分ける方法や正六角形の中にできる相似を使った解法はとても大切です。

もし、今回の３つの問題で正解できないものがあれば、そこで用いられた解き方や知識をすぐに確認し直しましょう。