「第６５０回　女子中の入試問題　平面図形 ３」

ここまで２０２３年度に女子中で出された「平面図形」の中から、「角の大きさ」と「求積」の基本レベルの問題を見てきました。

今回は、「角の大きさ」と「求積」の応用レベルの問題について考えます。

では、１問目です。

【問題】図のように中心角が９０°のおうぎ形と直径４㎝の半円があります。点Ｃは直線ＯＡの真ん中の点です。次の問いに答えなさい。円周率を使う場合は３.１４としてください。

（１）図の曲線ＡＤの長さと曲線ＤＢの長さの比が７：８であるとき、○あの角の大きさは何度ですか。

（２）曲線ＡＤの長さと曲線ＤＢの長さの比が１：２であるとき、三角形ＤＣＯの面積は何㎠ですか。

（フェリス女学院中学校　２０２３年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

弧ＡＢが

７＋８＝１５（等分）

されますから、

角ＡＯＤ＝９０度×７/１５＝４２度

です。

半円に着目します。

円問題の補助線ＣＥをひくと、ＯＣ＝ＥＣなので三角形ＣＯＥは二等辺三角形とわかります。

よって、角ＥＣＤの外角ＡＣＥは

４２度×２＝８４度　…　○

です。

さらに三角形ＣＥＡもＣＥ＝ＣＡの二等辺三角形です。

（１８０度－８４度）÷２＝４８度　…　×

三角形ＯＤＡはＯＤ＝ＯＡの二等辺三角形なので、

角ＯＡＤ＝（１８０度－４２度）÷２＝６９度

です。

よって、

角○あ＝６９度－４８度＝２１度

です。

答え　２１度

（２）

弧ＡＤ：弧ＤＢが１：２なので、角ＡＯＤ：角ＤＯＢも１：２です。

角ＡＯＤ＝９０度×1/３＝３０度　…　○

三角形ＯＤＥは「３０度直角三角形（正三角形の半分）」なので、

ＤＥ＝ＯＤ÷２＝２㎝

です。

よって、三角形ＤＣＯは底辺ＣＯ＝２㎝、高さＤＥ＝２㎝ですから、面積は

２㎝×２㎝÷２＝２㎠

です。

答え　２㎠

本問は、弧の長さと中心角の関係、円の補助線、二等辺三角形の角、３０度問題など、多くの知識が確認できる問題です。

どれも大切な知識であり、またその組み合わせ方も重要です。

続けて、２問目です。

【問題】下の図のように、半径２㎝、３㎝、４㎝の半円と直線を組み合わせてできた図形があります。斜線部分の面積の和を求めなさい。ただし、円周率は３.１４とします。

（浦和明の星女子中学校　２０２３年　問題１－（６））

【考え方】

円問題の補助線をひきます。

２㎝×２㎝×３.１４×９０度/３６０度＝３.１４㎠　…　ア

２㎝×２㎝÷２＝２㎠　…　イ

３.１４㎠＋２㎠＝５.１４㎠　…　ア＋イ（＝ウ）

相似を利用します。

ウ、エ、オは相似で、相似比は

２㎝：３㎝：４㎝＝２：３：４

ですから、面積比は

（２×２）：（３×３）：（４×４）＝④：⑨：⑯

です。

３つの弓形も相似ですから、求める部分は次のように表せます。

ウ＝５.１４㎠＝④

①＝１.２８５㎠

④＋⑦＝⑪＝１.２８５㎠×１１＝１４.１３５㎠

２㎝×２㎝×３.１４÷２－１.２８５㎠×４＝１.１４㎠＝４□

１□＝０.２８５㎠

５□＝０.２８５㎠×５＝１.４２５㎠

１４.１３５㎠＋１.４２５㎠＝１５.５６㎠

答え　１５.５６㎠

本問は、円の補助線と弓形の面積の求め方が確認できる問題です。

解答例では弓形の部分についても相似を利用していますが、四分円（中心角の大きさが９０度のおうぎ形）から直角二等辺三角形を除いて求めた弓形の面積を引くという解き方でもよいと思います。

それでは、３問目です。

【問題】下の図で、四角形ＡＢＣＤと四角形ＦＢＧＥと四角形ＩＥＨＤは長方形であり、点ＥはＡＣ上の点です。ＡＦの長さが３㎝、ＧＣの長さが１６㎝のとき、斜線部分の面積は何㎠ですか。

（淑徳与野中学校　２０２３年　問題２－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

長方形の対角線は、長方形の面積を２等分します。

よって、問題図の中にある３つの長方形の面積は次のようになります。

図より、

長方形ＦＢＧＥの面積＝★－（☆＋▲）＝長方形ＩＥＨＤの面積

とわかります。

ですから、斜線部分（長方形ＦＢＧＥ）の面積は

３㎝×１６㎝＝４８㎠

です。

答え　４８㎠

本問は、長方形の対角線がその面積を２等分することを利用して解く定番問題のひとつです。

等積移動のなかまの知識としておさえておきましょう。

では、最後の問題です。

【問題】下の図は、直角三角形ＡＢＣの辺ＡＢが辺ＢＣに重なるように折ったものです。このとき、斜線部分の面積を求めなさい。

（浦和明の星女子中学校　２０２３年　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

折る前の図形と折った後の図形は合同です。

さらに、三角形ＤＢＡ’と三角形ＤＣＡ’は高さが等しくなっています。

三角形の面積は底辺×高さ÷２で求められますから、高さが等しい三角形の面積比は底辺の比と同じです。

よって、三角形ＡＢＣの面積は

③＋③＋①＝⑦

です。

⑦＝４㎝×３㎝÷２

①＝６/７㎠

答え　６/７㎠

本問は、図形の折り返しと高さが等しい三角形の面積比の知識が確認できる問題です。

面積比の問題は次回以降に取り扱いますので、「習っていたが、忘れていた」という場合は「辺の比と面積比」の復習をしておくとよいでしょう。

今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「角の大きさ」と「求積」の応用レベルの問題をご紹介しました。

円問題の補助線や「３０度直角三角形」、弓形の求積方法などは「辺の比と面積比」の問題を解くときにも使いますので、求積の問題を利用してしっかりと定着させておきましょう。