第647回 女子中の入試問題 速さ 6
「第６４７回 女子中の入試問題 速さ ６」
これまで、２０２３年度に女子中で出された速さの基本問題や一行問題、旅人算、流水算、時計算の問題を見てきました。
「速さ」の最終回の今回は、グラフの問題を取り扱っていきます。
では、１問目です。
【問題】Ａ地点とＢ地点は５４㎝離れています。その間を２点Ｐ，ＱがＡ→Ｂ→Ａの順で１往復します。点Ｐは一定の速さで往復し、点Ｑは点Ｐと出会ってから速さを変えます。ただし、出会う前と後の速さはそれぞれ一定です。
グラフは２点が同時にＡを出発してから点ＱがＡにもどるまでの時間と、点Ｐと点Ｑの間の距離の関係を表したものです。次の問いに答えなさい。
（１）点Ｐの速さを求めなさい。
（２）点ＱがＡを出発したときの速さを求めなさい。
（３）ア□、イ□にあてはまる数を求めなさい。
（東洋英和女学院中学部 ２０２３年 問題９）
【考え方】
（１）
問題文の「点ＱがＡにもどるまで」や与えられた図から「Ｐが先に点Ａにもどった」と仮定して、隔たりグラフをダイヤグラム書き直してみます。
問題の隔たりグラフと書いたダイヤグラムを比べてみると
・０～９秒 ＰとＱの差が広がる
・９秒後 ＰがＢに着く
・９～１２秒 ＰとＱの差が縮まる
・１２秒後 ＰとＱが出会う
・★秒後 ＱがＢに着く
・★～ア□秒 ＰとＱの差が変化しない（＝同じ速さで同じ向きに進んでいる）
・ア□秒 ＰがＡに戻る
・イ□秒後 ＱがＡに戻る
のように２点の動きをうまく説明できますので、仮定が正しいことがわかります。
５４㎝÷９秒＝６㎝/秒
答え 毎秒６㎝
（２）
２点が出発してから１２秒後に出会うまでの様子を線分図で表すと、次のようになります。
ＰとＱは１２秒間に合わせて
５４㎝×２＝１０８㎝
進んでいますから、２点の速さの和は
１０８㎝÷１２秒＝９㎝/秒
です。
９㎝/秒－６㎝/秒＝３㎝/秒 … Ｑのはじめの速さ
答え 毎秒３㎝
（３）
ア□秒後にＰがＡに戻りますから、
５４㎝×２÷６㎝/秒＝１８秒 → ア＝１８
です。
３㎝/秒×１２＝３６㎝ … ☆
（１）で考えたように、Ｐと出会った後のＱの速さはＰと同じ６㎝/秒です。
１２秒後＋（５４㎝－３６㎝）÷６㎝/秒＝１５秒後 … ＱがＢに着く（★）
１５秒後＋５４㎝÷６㎝/秒＝２４秒後 … ＱがＡに戻る
ですから、イ＝２４です。
答え ア １８、 イ ２４
本問は、隔たりグラフの考え方が確認できる問題です。
隔たりグラフが変化する点で動きに変化があったと考えて隔たりグラフのまま問題を解いてもよいですし、そのままでは考えにくいと思ったときは上記のように「ふつう」のダイヤグラムに書き直して考えます。
なお、本問では、隔たりグラフが水平になっている部分の理由を考えることが、大きなポイントとなっています。
では、もう１問、見ていきましょう。
【問題】ＡさんとＢさんは、山を越えてとなり町まで歩きます。ＡさんはＸ町を出発し頂上で３０分の休けいをとってＹ町へ、ＢさんはＡさんが出発した１時間後にＹ町を出発し、頂上で３０分の休けいをとってＸ町へ行き、ＢさんはＡさんがＹ町に着く前にＸ町に着きました。ＡさんとＢさんは、上り道でも下り道でもそれぞれ一定の速さで歩き、上り道では下り道の３/４倍の速さで歩きます。下のグラフは、Ａさんが出発してからの時間とＡさんとＢさんの間の道のりを表しています。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）グラフのア□にあてはまる数を答えなさい。
（２）ＡさんとＢさんの上り道を歩く速さの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
（３）ＡさんとＢさんがすれ違った場所をＺ地点とするとき、Ｘ町からＺ地点とＹ町からＺ地点の道のりの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図を書きなさい。
（洗足学園中学校 ２０２３年 問題４）
【考え方】
（１）
ＡさんとＢさんの歩く様子を、「ふつう」のダイヤグラムで表します。
１９０－３０＝１６０
答え １６０
（２）
Ｂさんの動きに着目すると、Ｙ町から山頂までは
１６０分－６０分＝１００分
山頂からＸ町までは
２３５分－１９０分＝４５分
かかっていることがわかります。
ＡさんはＸ町から山頂までの１８０の距離に
１３０分－３０分＝１００分
かかっていますから、Ａさんが上り道を歩く速さは
１８０÷１００＝１.８
です。
Ａさん：Ｂさん＝１.８：３＝３：５
答え ３：５
（３）
わかったこと、わかることをグラフに書き込みます。
赤色の相似な三角形に着目します。
１３０＋３００÷２.４＝２５５（分） … ＡがＹ町に着く
２５５分－６０分＝１９５分 … ★
１９５分：３０分＝１３：２ … 相似比
３００×１３/（１３＋２）＝２６０ … Ｙ町からＺ地点までの距離
１８０＋３００＝４８０ … Ｘ町からＹ町までの距離
よって、
（Ｘ→Ｚ）：（Ｚ→Ｙ）＝（４８０－２６０）：２６０＝１１：１３
答え １１：１３
本問は、隔たりグラフの読み取りが確認できる問題です。
問題で与えられたグラフの傾きに着目して上記のようなダイヤグラムをかくと、その後は基本レベルの処理です。
隔たりグラフの読み取りができないときは、
・２人がＸ町から山頂の間で出会うグラフ（この場合は「ＢさんはＡさんがＹ町に着く前にＸ町に着きました」という条件にあてはまりません）
と
・山頂からＹ町の間で出会うグラフ
の２つのグラフを書き、どちらが条件に適するかを考えてみましょう。
今回は「速さ」の最終回として、２０２３年度の女子中の入試で出された速さのグラフ問題をご紹介しました。
２問とも「隔たりグラフ」に関する問題でグラフ問題の中では難しい部類に入りますが、近年の中学入試で出されやすい問題のひとつです。
「隔たりグラフ」が苦手なときは、「ふつう」のダイヤグラムの問題でグラフ問題の考え方を定着させると同時に、旅人算の問題をダイヤグラムを使って解く練習をしてグラフに慣れ、その上で「隔たりグラフ」の基本問題に取り組むことから始めてみましょう。
