第640回 女子中の入試問題 比と割合 3
「第６４０回 女子中の入試問題 比と割合 ３」
前回までの２回は、２０２３年度に女子中で出された「割合の文章題」の一行問題について考えました。
今回は、「比と割合」の中でもよく出題される「食塩水の問題」の中から一行問題を取り扱います。
早速、問題を見ていきましょう。
【問題】濃度が９％の食塩水から４０ｇの水を蒸発させると、食塩水の濃度は１１.４％になりました。濃度が９％の食塩水ははじめ何ｇありましたか。
（田園調布学園中等部 ２０２３年 問題１－（７））
【考え方】
条件を線分図に表します。
このとき、水を蒸発させても食塩の重さは変化しないことに気をつけます。
重さが変化しない食塩に着目すると、
（食塩の重さ）＝（はじめの食塩水の重さ）×０.０９＝（あとの食塩水の重さ）×０.１１４
↓
（はじめの食塩水の重さ）：（あとの食塩水の重さ）＝⑲：⑮
とわかります。
⑲－⑮＝４０ｇ → ①＝１０ｇ
１０ｇ×１９＝１９０ｇ
答え １９０g
本問は、食塩、水、食塩水の関係が確認できる基本の問題です。
なお、「１１.４％の食塩水に蒸発させた水４０ｇを戻すと９％の食塩水になる」のように考えると、次のような天びん図で解くこともできます。
うでの長さの比 （９％－０％）：（１１.４％－９％）＝１５：４
↓
重さの比 ④：⑮
④＝４０ｇ → ①＝１０g
４０ｇ＋１０ｇ×１５＝１９０ｇ
２問目も基本レベルの問題です。
【問題】１０％の食塩水に１％の食塩水を加えて６.７％の食塩水を３００ｇ作ります。１％の食塩水を何ｇ加えたらよいか求めなさい。
（頌栄女子学院中学校 ２０２３年 問題１－（８））
【考え方】
食塩水の混合問題なので、条件を面積図に表すことができます。
イにアの食塩を移す問題ですから、アとイの面積は同じです。
縦の比 ア：イ＝（１０％－６.７％）：（６.７％－１％）＝１１：１９
↓
横の比 ア：イ＝⑲：⑪
⑲＋⑪＝３００ｇ → ①＝１０ｇ
１０ｇ×１１＝１１０ｇ
答え １１０ｇ
本問は、食塩水の混合の基本が確認できる問題です。
なお、面積図の代わりに天びん図を用いても構いません。
３問目は、条件が多くなっています。
【問題】濃度が４％の食塩水が５０ｇ入っている容器Ａと、濃度が１０％の食塩水が２９０ｇ入っている容器Ｂがあります。容器Ａに入っている食塩水をすべて容器Ｂに移そうとしましたが、誤って何ｇかこぼしてしまいました。その後、容器Ｂに１０ｇの食塩を加えると、濃度が１２％になりました。こぼした食塩水は何ｇですか。
（横浜雙葉中学校 ２０２３年 問題１－（５））
【考え方】
条件を「塩分数」で整理します。
はじめの容器Ｂに食塩を加える部分は、食塩水の３公式が利用できます。
２９０g×０.１％＝２９ｇ … ウ
（２９ｇ＋１０ｇ）÷（２９０ｇ＋１０ｇ）×１００＝１３％
ア、イ、エ、オが不明ですから、面積図に整理し直します。
３００ｇ×（０.１３－０.１２）＝３ｇ … ☆＝★
３ｇ÷（０.１２－０.０４）＝３７.５ｇ … ア
容器Ａから容器Ｂに移した食塩水の重さが３７.５ｇですから、こぼした食塩水の重さは
５０ｇ－３７.５ｇ＝１２.５ｇ
です。
答え １２.５ｇ
本問は、条件に応じた整理方法を確認できる問題です。
食塩水をこぼしたり食塩を加えたりと条件が多くありますので、いったん「塩分数」を使って条件を整理し、「（すぐに）食塩水の３公式で計算できる部分」と「（比は使いませんが）面積図にすると食塩水の３公式が使いやすくなる部分」に分けるところがポイントです。
なお、面積図の部分は比を用いて解くこともできます。
では、今回の最後の問題です。
【問題】３％の食塩水Ａと、（①）％の食塩水Ｂがあります。Ａ２００ｇとＢ６００ｇを混ぜると４.５％の食塩水Ｃができます。Ａ（②）ｇとＣ２００ｇを混ぜると３.３％の食塩水ができ、Ｂ６０ｇとＣの残り６００ｇを混ぜると（③）％の食塩水ができます。（①）～（③）にあてはまる数をかきなさい。
（立教女学院中学校 ２０２３年 問題１－（６） 問題文一部変更）
【考え方】
条件を「塩分数」で整理します。
条件アは、食塩水の３公式が使えます。
２００ｇ×０.０３＝６ｇ … ○あ
２００ｇ＋６００ｇ＝８００ｇ … ○う
８００ｇ×０.０４５＝３６ｇ … ○え
３６ｇ－６ｇ＝３０ｇ … ○い
よって、
３０ｇ÷６００ｇ×１００＝５％ … （①）％
とわかります。
条件イは、食塩水の３公式だけでは解けませんから、面積図に整理し直します。
縦の比 （３.３％－３％）：（４.５％－３.３％）＝１：４
↓
横の比 ④：①
①＝２００
２００ｇ×４＝８００ｇ … （②）ｇ
容器Ｂの食塩水が５％とわかったので、条件ウは食塩水の３公式が使えます。
６０ｇ×０.０５＝３ｇ … ○お
６００ｇ×０.０４５＝２７ｇ … ○か
６０ｇ＋６００ｇ＝６６０ｇ … ○き
３ｇ＋２７ｇ＝３０ｇ … ○く
３０ｇ÷６６０ｇ×１００＝５０/１１％＝４ ６/１１％ … （③）％
答え ① ５、 ② ８００、 ③ ５０/１１（４ ６/１１）
本問は、今回の１～３問目のまとめになる問題です。
条件を整理して、条件に適した解法を選択できるかを確認しましょう。
今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された食塩水の一行問題をご紹介しました。
いずれも条件整理と基本解法の組み合わせになっていますので、どれも正解できることが望ましいです。
もし、まちがえたときは、条件整理をしているか、使う解法は適切かなどをチェックし、早急に課題を克服しておきましょう。
