「第６３７回　女子中の入試問題　数と計算 ５」

これまで４回にわたって２０２３年度に女子中で出された「数と計算」の入試問題を見てきましたが、今回が「数と計算」の最終回です。

今回は、いろいろな数の問題について考えていきます。

それでは、１問目です。

【問題】整数の列

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、…、９９、１００、１０１、１０２、…

について、次のように各桁の数字を分割して

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、…、９、９、１、０、０、１、０、１、１、０、２、…

という数の列を新しく作りました。この数の列について、次の問いに答えなさい。

（１）はじめから２００番目の整数を求めなさい。答えを出すために必要な式、図、考え方なども書きなさい。

（２）はじめから２００番目の整数までの和を求めなさい。答えを出すために必要な式、図、考え方なども書きなさい。

（鷗友学園女子中学校　２０２３年　問題５）

【考え方】

（１）

「桁ばらし」ともいわれる問題で、１桁の整数、２桁の整数、３桁の整数に場合分けをして考えます。

１～９９までの整数を分割すると

９個＋１８０個＝１８９個

の数字がありますから、２００番目まであと

２００個－１８９個＝１１個

です。

１００　→　１、０、０　３個

１０１　→　１、０、１　３個　

１０２　→　１、０、２　３個

１０２までで

３個×３＝９個

ありますから、２００番目の数字は１０３（１、０、３）の２番目の０です。

答え　０

（２）

０（００）を補っても和が変わらず、表に整理したときにマス目がすべて埋まって規則性が使いやすくなることが利用できます。

まず、００から９９までの１００個の整数について考えます。

はじめに、

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、…、９、９

のうち、一の位の数の

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、…、９、９

だけに着目します。

０＋１＋２＋…＋９＝４５　…　横１列の和

よって、一の位の数の和は

４５×１０＝４５０

です。

次に、

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、…、９、９

のうち、十の位の数の

１、２、３、４、５、６、７、８、９、１、０、１、１、１、２、…、９、９

だけに着目します。

０＋１＋２＋…＋９＝４５　…　縦１列の和

よって、十の位の数の和も

４５×１０＝４５０

です。

最後に、１００、１０１、１０２、１０３（３は除く）について、書き出します。

１＋０＋０＋１＋０＋１＋１＋０＋１＋１＋０＝７

４５０×２＋７＝９０７

答え　９０７

本問は、「桁ばらし」の基本が確認できる問題です。

００を補うという工夫は応用問題にも生かせますので、覚えておきましょう。

では、２問目です。

【問題】ある規則にしたがって、次のように数が並んでいます。

（１）６段目の右から２番目の数はいくつか求めなさい。

（２）１５段目の数の和を求めなさい。

（３）１０８は何段目の右から何番目か求めなさい。なお、答えの求め方も説明しなさい。

（頌栄女子学院中学校　２０２３年　問題５）

【考え方】

（１）

１段目から５段目までに並んでいる数の個数は、

１個＋３個＋５個＋７個＋９個＝２５個

です。

６段目は偶数段ですから、数は左から右に並んでいます。

６段目に並ぶ数は１１個ですから、６段目の右端の数は

２５＋１１＝３６

右端から２番目の数は

３６－１＝３５

です。

答え　３５

（２）

各段に並んでいる数の個数は１からはじまる奇数になっています。

よって、１段目から□段目までに並んでいる数の個数は、

１個＋３個＋５個＋…＝（□×□）個

のように計算ができます。

１４×１４＝１９６個　…　１段目から１４段目までに並んでいる数の個数

１５×１５＝２２５個　…　１段目から１５段目までに並んでいる数の個数

ですから、１５段目は

のように１９７から２２５まで

２２５－１９６＝２９個

の数が並んでいます。

等差数列の和の公式より、１５段目に並ぶ数の和は

（１９７＋２２５）×２９÷２＝６１１９

です。

答え　６１１９

（３）

１０８に近い平方数は１００です。

１００＝１０×１０

ですから、１００は１０段目の右端の数です。

１０８－１０１＝７

より、１０８は右から

１＋７＝８番目

の数です。

答え　１１段目の右から８番目

本問は、数表の見方と数え方の基本が確認できる問題です。

１から連続する奇数の和の公式が使えているか、答えが１ズレていないかをチェックしましょう。

最後は、約数と倍数の問題です。

【問題】南中学校の１年生９６人が、５から１００までの整数が１つずつ書いてある帽子をかぶり、横１列に並びました。生徒は先生が言った数が自分の帽子の数字の約数のときに１歩前進することにしました。先生が１、２、３、…と順に１００までの数を言ったとき、次の問いに答えなさい。

（１）帽子の数字が４８の生徒は何歩前進しましたか。

（２）５歩前進した生徒の帽子の数字をすべて書きなさい。

（３）次の（ア）、（イ）、（ウ）には数を、（エ）、（オ）には文章を入れなさい。

Ａさんの両側にいる２人が、はじめの位置より２歩だけ前進した場合、Ａさんは少なくとも（ア）歩前進しています。

なぜなら、７、８、９のように連続する３つの整数には（イ）の倍数と（ウ）の倍数が含まれ、両側の帽子の数字は（エ）なので、Ａさんの帽子の数字は（オ）だからです。

（東洋英和女学院中学部　２０２３年　問題１０　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

４８の約数は、

１、２、３、４、６、８、１２、１６、２４、４８

の１０個ですから、１０歩前進します。

答え　１０歩

（別解）

約数の個数を求めればよいので、ある整数＝素数Ａ×素数Ｂ×…であるとき、

（素数Ａの個数＋１）×（素数Ｂの個数＋１）×…＝約数の個数

という約数の個数の公式を利用します。

４８＝２×２×２×２×３

（４＋１）×（１＋１）＝１０個

（２）

約数の個数が５個ある整数は、素因数分解すると

□×□×□×□（□は同じ素数）

となる整数です。

□＝２のとき　２×２×２×２＝１６

□＝３のとき　３×３×３×３＝８１

答え　１６、８１

（３）

２歩だけ前進した生徒の帽子の数字は約数が２個だけの整数ですから、Ａの両側にいる生徒の帽子の数字は素数です。

このような３人の並びは、

（５、Ａ、７）、（１１、Ａ、１３）、（１７、Ａ、１９）、…

などです。

ところで、

２の倍数は、（５）、６、（７）、８、（９）、１０、…

のように１つおきに、

３の倍数は、（５）、６、（７）、（８）、９、（１０）、…

のように２つおきにありますから、２の倍数と３の倍数は連続する３つの整数に必ず含まれます。

よって、Ａさんの両側が素数であることから、Ａさんの帽子の数字は６の倍数（６の約数は４個）とわかります。

したがって、Ａさんは少なくとも４歩前進しています。

答え　ア　４、　イ　２、　ウ　３、　エ　素数である、　オ　６の倍数（イ、ウは順不同可）

本問は、約数の個数と整数の関係、倍数と連続する整数の関係が確認できる問題です。

（３）は難しいと思いますが、（１）、（２）の作業や（３）の文中の例示がヒントとなっていますので、解けなかったときでも見直しはしておきましょう。

今回は、「数と計算」の最終回として、数に関するいろいろな問題をご紹介しました。

「桁ばらし」、「数表」、「連続する整数」がテーマの問題も中学入試ではよく出されます。

解くときに使う「１から連続する奇数」、「約数の個数」などの知識を含めて、解き方を確認しておきましょう。