「第６３６回　女子中の入試問題　数と計算 ４」

ここまで、２０２３年度に女子中で出された「数と計算」の入試問題を見てきています。

今回は「規則性」の問題を取り扱っていきます。

では、１問目です。

【問題】２０２３を２０２３回かけ算したときの一の位の数字はいくつですか。

（洗足学園中学校　２０２３年　問題２－（１））

【考え方】

かけ算の答えの一の位の数は、次のように「かけられる数の一の位の数」と「かける数の一の位の数」によって決まります。

そこで、

２０２３×２０２３　→　３×３＝９

２０２３×２０２３×２０２３　→　３×３×３＝■７

のように、一の位についてだけ調べていきます。

１回かける　３

２回かける　３×３＝９

３回かける　３×３×３　→　９×３＝■７

４回かける　３×３×３×３　→　７×３＝■１

５回かける　３×３×３×３×３　→　１×３＝３

５回かけると再び一の位の数が３に戻りましたから、一の位の数は「３→９→７→１」の４個１セットをくり返すことがわかります。

２０２３回÷４回＝５０５セット…３回

よって、２０２３を２０２３回かけたときの一の位の数は、２０２３を３回かけたときの一の位の数と同じ７です。

答え　７

本問は「くり返し」の基本問題です。

一の位の数だけに着目すればよいことを確認しましょう。

続けて、２問目です。

【問題】次のように偶数が並んでいます。

２、 ４、 ６、 ８、 …

連続する６個の数の和が２２２のとき、５番目と６番目の数の和はいくつですか。

（大妻中学校　２０２３年　問題７）

【考え方】

等差数列の和に関する問題です。

条件を線分図で表します。

「□番目の数＝初項＋公差×（□番目－１）」より、１番目の数を①とすると６番目の数は、

①＋２×（６－１）

＝①＋１０

です。

等差数列の和の公式より

（①＋①＋１０）×６÷２＝２２２　→　①＝３２

です。

よって、６番目の数が

３２＋１０＝４２

５番目の数が

４２－２＝４０

なので、和は

４０＋４２＝８２

です。

答え　８２

本問は、等差数列の基本が確認できる問題です。

６つの数を①、①＋２、…、①＋１０として足しても構いませんが、等差数列の公式でも解答できるようにしておきましょう。

なお、上記の方法以外に、２２２÷６＝３７が６つの数の平均であることから、６つの数を３２、３４、３６、３８、４０、４２と求めることもできます。

３問目は、大問形式の問題です。

【問題】下のように、ある規則にしたがって数が並んでいます。このとき、次の問いに答えなさい。

４、５、５、３、４、４、５、５、３、４、４、５、５、３、４、４、…

（１）はじめから数えて９９番目の数を答えなさい。

（２）８５回目に出てくる５は、はじめから数えて何番目の数ですか。

（３）はじめから何番目までの数の和が６４７になるか、求めなさい。また、なぜそうなるのかを図や式などを使って説明しなさい。

（４）５が全部で２００個含まれるのは、はじめから何番目の数までですか。すべて求めなさい。

（田園調布学園中等部　２０２３年　問題４）

【考え方】

（１）

数列は、「４、５、５、３、４」の５個１セットをくり返しています。

「くり返しはカレンダー型に整理できる」を利用します。

９９個÷５個＝１９セット…４個

よって、９９番目の数は２０セット目の４番目の数です。

答え　３

（２）

１セットの中に「５」は２個ふくまれています。

８５個÷２個＝４２セット…１個

よって、８５回目の「５」は４３セット目の２番目の数です。

５個×４２セット＋２個＝２１２個

答え　２１２番目

（３）

１セットの５個の数の和は

４＋５＋５＋３＋４＝２１

です。

和６４７÷和２１＝３０セットあまり和１７

よって、３１セット目の４番目までの数の和が６４７になります。

５個×３０セット＋４個＝１５４個

答え　１５４番目の数まで

（４）

（２）と同じように考えます。

２００個÷２個＝１００セット

１００セット目の３番目の数が２００個目の「５」です。

よって、

５個×９９セット＋３個＝４９８個

の数を並べたとき、初めて「５」の個数が２００個になります。

その後、さらに数を１０１セット目の１番目まで数を並べても「５」の個数は変化しません。

５個×１００セット＋１個＝５０１個

答え　４９８番目、４９９番目、５００番目、５０１番目の数まで

本問は、「くり返し」の基本が確認できる問題です。

答えが少しだけ正解とズレていたり、答えを求められなかったりしたときは、解答例のようなカレンダー型の条件整理を試してみてください。

今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「規則性」の問題をご紹介しました。

３問とも基本レベルの問題ですので、もし、まちがえてしまったときはどこでまちがえたかをチェックし、持っている問題集などを利用した復習をしましょう。