「第６３５回　女子中の入試問題　数と計算 ３」

２０２３年度に女子中で出された入試問題から、「数と計算」の問題について考えています。

今回は「数と計算」の大問を中心に見ていきます。

１問目は概数の問題です。

【問題】次の問いに答えなさい。

（１）一の位を四捨五入すると５００になる整数をすべて足すといくつになりますか。

（２）一の位を四捨五入しても５００にならない整数のうち、十の位を四捨五入すると５００になる整数は全部で何個ありますか。

（３）一の位を四捨五入しても５００にならない整数のうち、十の位を四捨五入すると５００になる整数をすべて足すといくつになりますか。

（吉祥女子中学校　２０２３年　問題２）

【考え方】

（１）

一の位を四捨五入すると５００になる整数は、４９５以上５０４以下の１０個です。

（４９５＋５０４）×１０÷２＝４９９５

答え　４９９５

（２）

条件を数直線に整理します。

十の位を四捨五入すると５００になる整数は４５０以上５４９以下の１００個ですから、そこから一の位を四捨五入すると５００になる１０個の整数を取り除きます。

１００個－１０個＝９０個

答え　９０個

（３）

十の位を四捨五入すると５００になる１００個の整数の和は、

（４５０＋５４９）×１００÷２＝４９９５０

です。

ここから（１）で求めた和を引きます。

４９９５０－４９９５＝４４９５５

答え　４４９５５

本問は概数の範囲の基本が確認できる問題です。

求める数が整数のときは、範囲を「～以上 ～以下」で表せることに注意しましょう。

２問目は分数の問題です。

【問題】２桁の整数を分母とする１以下の既約分数を、小さい順に並べます。既約分数とは、それ以上約分できない分数のことです。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）１番目、２番目の分数はそれぞれ何ですか。

（２）最後の分数は何ですか。

（３）分子に初めて２が現れるとき、その分数は何ですか。また、それは何番目ですか。

（４）３/９５は何番目ですか。

（立教女学院中学校　２０２３年　問題２）

【考え方】

（１）

小さい順に並べますから、分母が大きい分数から並びます。

答え　１番目　１/９９、　２番目　１/９８

（２）

足すと１になる２つの分数のうち、一方が既約分数であれば、他方も既約分数です。

最も小さい既約分数が１/９９なので、最も大きい既約分数は９８/９９です。

答え　９８/９９

（３）

分子が２である最も小さい分数は２/９９です。

ですから、一番小さい分数１/９９と２/９９の間にある分数の分子は１です。

よって、次のように表すことができます。

□は５０以上９８以下なので、□にあてはまる整数は４９個あります。

１番目＋４９個＋１個＝５１番目

答え　２/９９、　５１番目

（４）

はじめに、１/９９より大きく３/９５より小さい分子が１の分数の個数を、（３）と同じようにして求めます。

□は３２以上９８以下なので、□にあてはまる整数は６７個あります。

次に、２/９９より大きく３/９５より小さい分子が２の既約分数の個数を求めます。

□は６４以上９８以下なので、□にあてはまる２の倍数以外の整数（奇数）は１７個あります。

最後に、３/９９より大きく３/９５より小さい分子が３の既約分数の個数を求めます。

□は９６以上９８以下なので、□にあてはまる整数は９７と９８の２個があります。

よって、３/９５は

８８個＋１個＝８９番目

の分数です。

答え　８９番目

本問は、分数の大きさや大小関係の考え方が確認できる問題です。

（１）が（３）の、（３）が（４）のヒントになっていますが、（４）は難しいので（３）までの正解を目指したい問題です。

３問目と４問目は大問形式ではありませんが、「分数つながり」ということで見ておこうと思います。

【問題】分子が１０２で、約分すると整数になる分数があります。この数が１０に最も近くなるのは分母が（　　）のときです。（　　）にあてはまる数を求めなさい。

（大妻中学校　２０２３年　問題１－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

「約分すると整数になる分数」は、分子が分母の約数です。

１０２＝２×３×１７

なので、１０２の約数は

１、２、３、６、１７、３４、５１、１０２

の８個です。

１０２/□が１０に近いので、□は

１０２÷１０＝１０.２

に近い約数です。

１０２÷６＝１７

１０２÷１７＝６

よって、１０２/□が１０に最も近くなるのは□＝１７のときです。

答え　１７

【問題】３２個の分数

の中で約分できないものは何個ありますか。

（淑徳与野中学校　２０２３年　問題１－（３））

【考え方】

１４４＝２×２×２×２×３×３

ですから、分子が２の倍数または３の倍数の分数は約分できます。

１１１÷２＝５５あまり１

１４３÷２＝７１あまり１

７１個－５５個＝１６個　…　２の倍数

１１１÷３＝３７

１４３÷３＝４７あまり２

４７個－３７個＝１０個　…　３の倍数

１１１÷６＝１８あまり３

１４３÷６＝２３あまり５

２３個－１８個＝５個　…　６の倍数

１６個＋１０個－５個＝２１個　…　約分できる分数

ですから、約分できない分数の個数は

（１４３個－１１１個）－２１個＝１１個

です。

こたえ　１１個

これらの２問は、「約分すると整数になる分数は、分子が分母の約数」と「約分できる分数は、分子が分母を素因数分解したときの素数の倍数」の区別が確認できる問題です。

問題文は似ていますが、考え方は異なる点に注意して解けたかをチェックしておきましょう。

今回は、２０２３年度の女子中で出された「数と計算」の大問を中心にご紹介しました。

答えがすこしだけズレてまちがえたときは、「以上」、「以下」の使い方、「数」と「整数」のちがい、個数の数え方、式やベン図に整理しているかなどを確認しましょう。