「第６３１回　共学中の入試問題　場合の数 １」

前回まで、近年の共学中入試で出された「立体図形」の問題を取り扱ってきました。

今回からは「場合の数」について考えていきます。

１回目の今回は「場合の数の一行問題」を見ていきます。

では、１問目です。

【問題】下の図のように、たて２列、横６列に並んだ合計１２席の座席があります。その中から前後左右で隣り合わないように５席の座席を選ぶとき、選び方は何通りありますか。

（中央大学附属横浜中学校　２０２２年　問題１－（８）　問題文一部変更）

【考え方】

次のように、座席にＡ～Ｌの名前をつけておきます。

はじめに、必ずＡの座席を選ぶ場合を考えます。

ＦとＬの列を選ばないとき

１通り

ＥとＫの列を選ばないとき

 ２通り

ＤとＪの列を選ばないとき

 ２通り

ＣとＩの列を選ばないとき

２通り

ＢとＨの列を選ばないとき

２通り

ですから、必ずＡの座席を選ぶ場合は

１＋２×４＝９（通り）

です。

同様に考えると、必ずＧの座席を選ぶ場合も９通りあります。

最後に、ＡとＧの列を選ばない場合を考えます。

 ２通り

よって、全部で

９×２＋２＝２０（通り）

とわかります。

答え　２０通り

本問は、問題の条件に従って順序よく調べていく力を確認できる問題です。

調べる過程で「×印より後ろについては２通りしかない」ことに気づいたときは、以下を省略して計算で答えを求めてもよいでしょう。

続けて、２問目です。

【問題】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの６人は、文化祭のポスターを３人、２人、１人の３つの班に分かれてはります。そのとき、ＡとＢは同じ班で、ＣとＤは別々の班に分かれました。このとき、３人、２人、１人の分け方は何通りあるか答えなさい。

（東京農業大学第一高等学校中等部　２０２３年　問題４－（５））

【考え方】

「ＡとＢは同じ班」なので、ＡとＢが３人の班の場合と２人の班の場合について調べます。

●ＡとＢが３人の班の場合　

３人の班の３人目がＣのとき

Ｄ、Ｅ、Ｆの内の誰か１人が１人の班になります。　→　３通り

３人の班の３人目がＤのとき

Ｃ、Ｅ、Ｆの内の誰か１人が１人の班になります。　→　３通り

３人の班の３人目がＥのとき

Ｃ、Ｄ、Ｆの内のＣまたはＤのどちらか１人が１人の班になります。　→　２通り

３人の班の３人目がＦのとき

Ｃ、Ｄ、Ｅの内のＣまたはＤのどちらか１人が１人の班になります。　→　２通り

３×２＋２×２＝１０（通り）

●ＡとＢが２人の班の場合

ＣまたはＤのどちらか１人が１人の班になります。　→　２通り

よって、全部で

１０＋２＝１２（通り）

の分け方があります。

答え　１２通り

本問は、いくつかある問題の条件のうちの１つに着目して場合分けをする力を確認できる問題です。

解答例以外の解き方として、ＣとＤの２人が３人の班や２人の班で同じにならないことに着目する方法もあります。

●Ｃが３人の班、Ｄが２人の班の場合

ＡとＢが３人の班になり、ＥとＦは２人の班と１人の班に分かれるので２通りです。

●Ｃが３人の班、Ｄが１人の班の場合

ＡとＢが３人の班のとき、ＥとＦは２人の班になるので１通りです。

ＡとＢが２人の班のとき、ＥとＦは３人の班になるので１通りです。

●Ｃが２人の班、Ｄが１人の班の場合

ＡとＢが３人の班になり、ＥとＦは３人の班と２人の班に分かれるので２通りです。

２＋１＋１＋２＝６（通り）

上記について、ＣとＤを入れかえることもできますから、全部で

６×２＝１２（通り）

です。

それでは、今回の最後の問題です。

【問題】５色の絵の具をすべて使って、立方体の各面をぬります。ただし、どの面も１色のみでぬり、隣り合う面は異なる色でぬります。回転させて同じ配色になるぬり方は１通りと考えるとき、ぬり方は全部で何通りありますか。

（三田国際学園中学校　２０２２年　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

立方体には６つの面がありますから、どれか１色は向かい合う２面を塗るのに使われます。

この面に使う絵の具の選び方は５通りあります。

残りの４つの側面を下の図のようにア→イ→ウ（上から見て時計回り）の順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４色で塗ると、４色を塗る順番は

４×３×２×１＝２４（通り）

あります。

しかし、この問題には「回転させて同じ配色になる塗り方は１通り」という条件もありますので、下の４つの図の塗り方は「４つとも同じ塗り方＝１通り」となります。

２４÷４＝６（通り）

上下の面の塗り方が５通り、４つの側面の塗り方が６通りですから、

５×６＝３０（通り）

の塗り方があるように思われます。

しかし、上から見て時計回りにＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄと塗った場合（下左図）と時計回りにＡ→Ｄ→Ｃ→Ｂと塗った場合（下右図）は、立方体を上下逆さまにすると同じ配色になります。

よって、５色で立方体の６つの面を塗る場合の数は全部で

３０÷２＝１５（通り）

です。

答え　１５通り

本問は「立体図形の塗り分け」の考え方が確認できる問題です。

この「立体図形の塗り分け」の問題は「順列」、「円順列」、「じゅず順列」などの知識が必要な、場合の数の定番問題の中でも難しい部類に入ります。

これを苦手としているようでしたら、家庭学習では解答例のように実際に図をかき、式との関係を自分なりに納得できる学習をしてみましょう。

今回は、２０２２年度と２０２３年度の共学中の入試で出された「場合の数の一行問題」をご紹介しました。

場合の数の問題は、１、２問目のように基本レベルの問題でも場合分けをして調べる力が必要なものがありますし、３問目のように少し難しめの知識を必要とする定番問題もあります。

今回の問題でもし正解できなかったときは、樹形図などの書き出し、場合分け、計算公式などそれぞれの知識について、使っているテキストの基本問題を使って見直しをしてみましょう。