「第６２９回　共学中の入試問題　立体図形 ５」

これまで近年の共学中入試で出された「立体図形」を取り扱ってきています。

今回は「水問題」について見ていきます。

１問目は、「棒入れ」の問題です。

【問題】図１のような底面の半径が６㎝の円柱の形をした水そうに水が入っています。この水そうに、図２のような底面の半径が２㎝で高さが１０㎝である円柱の形をした鉄の棒１本を、底面が水そうの底につくように入れたところ、棒の１／２が水につかりました。さらに図２の棒をもう１本入れたところ、棒の（ ア ）が水につかりました。水そうの高さは１０㎝より高く、円周率は３.１４とします。

① 水そうに入っている水の量は何㎤ですか。

② （ ア ）にあてはまる分数はいくつですか。

（神奈川大学附属中学校　２０２３年　問題２－（５））

【考え方】

①　棒を入れる前の水そうを正面から見た図と、棒を１本入れた後の水そうを正面から見た図を、横に並べてかきます。

水の量はどちらの水そうでも同じです。

右上の図より

（６㎝×６㎝×３.１４－２㎝×２㎝×３.１４）×５㎝

＝１６０㎤×３.１４

＝５０２.４㎤

が水の量とわかります。

答え　５０２.４㎤

②　もう１本の棒を入れた図をかきます。

水の量は変化してませんから、水の深さは

（１６０㎤×３.１４）÷（６㎝×６㎝×３.１４－２㎝×２㎝×３.１４×２）

＝（１６０㎤×３.１４）/（２８㎠×３.１４）

＝４０/７㎝

です。

よって、

ア＝４０/７㎝÷１０㎝＝４/７

です。

答え　４/７

本問は水問題の基本となる図のかき方、水の量が変わらないことに着目することの２点が確認できる問題です。

２問目は「水量のグラフ」に関する問題です。

【問題】深さが３０㎝の直方体の容器に、図のように円柱のおもりを置きました。この容器に毎秒５０㎤の割合で水を入れます。グラフは水を入れ始めてから４２秒後までの水の深さを表しています。おもりの体積は何㎤ですか。

（青山学院中等部　２０２２年　問題８　問題文一部変更）

【考え方】

「水量のグラフ」の問題では、「水そうを正面から見た図にグラフからわかることを書き込む」が基本です。

５０㎤/秒×３０秒÷２０㎝＝７５㎠　…　３０秒で入った部分の底面積

５０㎤/秒×（４２秒－３０秒）÷（２６㎝－２０㎝）＝１００㎠　…　容器の底面積

よって、おもりの底面積は

１００㎠－７５㎠＝２５㎠

です。

２５㎠×２０㎝＝５００㎤

答え　５００㎤

本問は、水とグラフの問題の基本が確認できる問題です。

なお、水を入れる時間の比と水の体積の比が等しいことに着目して、次のように３０秒までの部分と３０秒から４２秒までの部分を比で解く方法もあります。

５０㎤/秒×３０秒×（４－３）/３＝５００㎤

最後は「容器の置き方を変える」問題です。

【問題】同じ大きさの立方体を４つ組み合わせて作った容器に水を入れ、【図１】【図２】のように置き方を変えて水平な台の上に置きました。【図１】の状態で水の高さは容器の一番高い場所のちょうど半分でした。【図２】の状態で水の高さは容器の一番高い場所に対してどれくらいの割合ですか。分数で答えなさい。

（帝京大学中学校　２０２２年　問題１－（８））

【考え方】

容器の置き方を変えても空気の体積は変わりません。

また、【図１】と【図２】はどちらも奥行きが同じですから、正面から見たときに見える空気の面積は同じです。

【図１】の置き方のとき、空気の面積は正方形１.５個分です。

正方形の１辺の長さを６とします。

６×６×１.５＝５４　…　空気の面積

これは【図２】の置き方をしても同じです。

（５４－６×６）÷（６×３）＝１　…　★

よって、水面の高さは

６－１＝５

です。

容器の一番高い高さは

６×２＝１２

ですから、割合は

５÷１２＝５/１２

です。

答え　５/１２

本問は、容器の置き方を変える水問題の基本が確認できる問題です。

解答例では水よりも体積の小さい空気に着目ましたが、水そのものに着目してもよいでしょう。

今回は、２０２３年度と２０２２年度に共学中入試で出された「水問題」の基本問題をご紹介しました。

容器などを前から見た図を利用するという大切な考え方が確認できますので、習い終えていれば定着度をチェックしてみましょう。