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第624回　共学中の入試問題　平面図形 6

図形の練習問題｜ 2023年06月24日18時00分

「第６２４回　共学中の入試問題　平面図形６」

近年の共学中入試で出された「平面図形」について考えています。

今回も前回に引き続き、「移動」に関する問題を取り上げていきます。

１問目は「回転移動」の問題です。

【問題】図のように三角形ＡＢＣを点Ｂを中心として一回転させたとき、辺ＡＣが通過した部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は３.１４とします。

（帝京大学中学校　２０２２年　問題２－（６））

【考え方】

回転移動は、回転の中心から最も遠い点と最も近い点の動きに着目して作図します。

回転の中心Ｂから最も遠い点Ａと最も近い点Ｃを１回転させます。

辺ＡＣが通過した部分は、図の斜線部分です。

８㎝×８㎝×３.１４－５㎝×５㎝×３.１４＝１２２.４６㎠

答え　１２２.４６㎠

本問は、回転移動の基本が確認できる問題です。

２問目は「２点の移動」の問題です。

【問題】図のような長方形ＡＢＣＤがあります。２つの点Ｐ、Ｑは、それぞれ同時に点Ａ、Ｂを出発し、点Ｐは秒速３㎝の速さでＡＤ間を、点Ｑは秒速２㎝の速さでＢＣ間を何度も往復します。図のようにＰとＱをまっすぐ結んだ線の長さについて、以下の問いに答えなさい。

（１）出発してから５秒後までで、ＰＱの長さが最も長くなるのは何秒後ですか。

（２）出発してから６秒後までで、ＰＱの長さが最も短くなるのは何秒後ですか。すべて答えなさい。

（３）出発してから６秒後までで、ＰＱの長さが増加しているのは合計で何秒間ですか。

（神奈川大学附属中学校　２０２３年　問題５）

【考え方】

（１）

点Ｐは６㎝÷３㎝/秒＝２秒ごとにＡまたはＤと、

点Ｑは６㎝÷２㎝/秒＝３秒ごとにＢまたはＣと重なります。

そこで、２秒後、３秒後、４秒後、６秒後（２秒と３秒の最小公倍数＝１周期）と、問題の条件にある５秒後の様子を図に表します。

図より、５秒後まででＰＱの長さが最も長くなるのは４秒後とわかります。

答え　４秒後

（２）

ＰＱの長さが最も短くなるのは、ＰＱがＡＢ（ＣＤ）と平行になるときです。

ここでＱのシャドーＱ’がＡＤ上を秒速２㎝でＡから出発していたと仮定すると、ＰＱがＡＢと平行になったとき、ＰとＱ’は重なっています。

ＰとＱ’の動きをグラフに整理します。

２つのグラフが交わる点に着目します。

１回目 … 赤色三角形

相似比　（３－２）：４＝１：４

３秒×４/（１＋４）＝２.４秒後

２回目… 水色三角形

相似比　（６－３）：（６－４）＝３：２

４秒＋２秒×２/（２＋３）＝４.８秒後

答え　２.４秒後と４.８秒後

（３）

（２）のグラフを利用します。

ＰとＱ’の距離が増加しているのは、

０秒後から２秒後、

２.４秒後（１回目の出会い）から４秒後、

４.８秒後（２回目の出会い）から６秒後

の３か所です。

２秒間＋１.６秒間＋１.２秒間＝４.８秒間

答え　４.８秒間

本問は、２点の動きの調べ方が確認できる問題です。

（２）はＰとＱの動きに着目した図をかいてもよいと思いますが、（３）まで含めて考えると、シャドーとグラフを併用した方が考えやすいでしょう。

最後も「２点の移動」の問題です。

【問題】下の図形は２つの合同な長方形をつなげたものです。点Ｐ、点Ｑはそれぞれ点Ａ、点Ｃを同時に出発し、辺ＡＢ、辺ＣＤ上を往復します。点Ｐの速さを毎秒３㎝、点Ｑの速さを毎秒２㎝とするとき、点Ｐと点Ｑを結んだ直線が、この図形の対称の中心を最初に通るのは、点Ｐが動き始めてから何秒後ですか。また、１分間以内に何回ありますか。