「第６２２回　共学中の入試問題　平面図形 ４」

近年の共学中入試で出された「平面図形」の問題について考えています。

今回は大問形式の「辺の比と面積比」を中心に取り扱っていきます。

１問目は「相似完成」の一行問題です。

【問題】下の図の平行四辺形ＡＢＣＤで、黒丸は各辺を３等分する点を表します。このとき、ＢＧ：ＧＥをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

（國學院大學久我山中学校　２０２３年　問題２－（６））

【考え方】

ＢＧとＧＥを辺とする相似な三角形を利用します。

そのために、「線を延長（「角出し」）」または「平行線」を補助線（青線）として相似な三角形を作ります。

今回は「角出し」を利用してみます。

「相似完成」では、正しい補助線を引くと２組の相似な三角形ができます。

図の赤色三角形の相似より、

ＡＤ：ＨＣ＝ＤＦ：ＣＦ＝２：１

ですから、

ＡＤ＝ＢＣ＝⑥とすると、ＨＣ＝③です。

よって、図の青色三角形の相似比は、

ＢＨ：ＥＡ＝（⑥＋③）：④＝９：４

なので、

ＢＧ：ＥＧ＝9：4

です。

答え　９：４

本問は相似完成の解き方が確認できる問題です。

上記以外にもＢＥとＣＤを延長する解き方やＢＣと平行でＦを通る直線を補助線とする方法もあります。

習い終えていましたら、どれか１つの解き方が利用できるように合っているかをチェックしてみましょう。

では、２問目です。

【問題】身長１５０㎝のＰさんが、高さ４.５ｍの街灯Ａの真下から、高さ６ｍの街灯Ｂの真下に向かってまっすぐに歩いたところ、ちょうど１４ｍだけ進んだ場所で、Ｐさんの前にできる影の長さと後ろにできる影の長さが等しくなりました。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）街灯Ａの真下から街灯Ｂの真下までのきょりを求めなさい。

（２）Ｐさんの前にできる影の長さが後ろにできる影の長さのちょうど２倍になるのは、街灯Ａの真下から何ｍ進んだ場所ですか。

（法政大学中学校　２０２２年　問題４）

【考え方】

問題本文の条件を図に表します。

図をかくと、街灯Ａによってできる相似な三角形と街灯Ｂによってできる相似な三角形があることがわかります。

Ｐさんの前後にできた影の長さは等しいので。これらの図をひとつにまとめると次のようになります。

図より、

②＝１４ｍ　→　①＝７ｍ

ＡＢ間のきょり＝①＋①＋①＋②＝⑤＝３５ｍ

答え　３５ｍ

（２）

問題の条件を図に表します。

このとき、街灯Ａの高さ、街灯Ｂの高さ、Ｐさんの身長は変わりませんから、距離の比は（１）のときと同じであることが利用できます。

図より、

ＣＤ＝②×３－②－①＝③

ＦＧ＝①×４－①－②＝①

ＣＧ＝③＋①＋②＋①＝⑦＝３５ｍ

とわかります。

①＝３５ｍ÷７＝５ｍ

ＣＥ＝③＋①＝④＝２０ｍ

答え　２０ｍ

本問は、影の問題の解き方が確認できる問題です。

２つの街灯の影の問題としては基本レベルですので、もし正解できなかったときは図と長さの比が正しく書けているかをチェックしましょう。

最後にもう１問見ていきます。

【問題】下の図のような辺ＡＤと辺ＢＣが平行である台形ＡＢＣＤがあります。点Ｅは辺ＡＢ上の点、点Ｆは辺ＣＤ上の点、点Ｈは辺ＢＣ上の点で、ＤＦ＝４㎝、ＣＦ＝１㎝、ＢＨ＝２㎝、ＣＨ＝４㎝で、ＡＢとＤＨは平行です。また、点ＧはＥＦとＤＨが交わる点です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）三角形ＤＨＦの面積と台形ＡＢＣＤの面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

（２）ＥＧ：ＧＦを最も簡単な整数の比で求めなさい。

（東邦大学付属東邦中学校　２０２２年　問題３）

【考え方】

（１）

小問に関係のある部分だけの図にします。

図より、等高図形の面積比の問題とわかります。

台形ＡＢＣＤの面積を上底と下底の長さの和から⑧とします。

台形ＡＢＣＤと三角形ＤＨＣは高さが同じですから、面積比は（上底＋下底）の比と同じです。

上底＋下底　台形ＡＢＣＤ：三角形ＤＨＣ＝８㎝：４㎝＝２：１

↓

面積比　台形ＡＢＣＤ：三角形ＤＨＣ＝２：１＝⑧：④

三角形ＤＨＦと三角形ＣＨＦも高さが同じ三角形ですから、面積比は４：１です。

三角形ＤＨＦの面積：台形ＡＢＣＤの面積＝④×４/５：⑧＝２：５

答え　２：５

（２）

三角形ＤＨＥと三角形ＤＨＦは底辺ＤＨが共通ですから、

三角形ＤＨＥの面積：三角形ＤＨＦの面積＝ＥＧ：ＧＦ

となることを利用します。

四角形ＡＢＨＤは面積が④の平行四辺形ですから、三角形ＤＨＥの面積はその半分の②です。

三角形ＤＨＥの面積：三角形ＤＨＦの面積＝②：④×４/５＝５：８

↓

ＥＧ：ＧＦ＝５：８

答え　５：８

本問は台形を区切ったときの面積比と等高図形の面積比の使い方が確認できる問題です。

点Ｅの位置は不明ですが、その位置に関係なく三角形ＤＨＥの面積が平行四辺形ＡＢＨＤの半分となることに注意します。

（三角形ＤＨＡや三角形ＤＨＢに等積変形してもＯＫです。）

今回は近年に共学中入試で出された「辺の比と面積比」の大問形式の問題を中心にご紹介しました。

１問目と２問目は定番の問題ですから、もし間違えてしまったときはすぐに復習をすることが必要です。

３問目は（２）が少しむずかしいのですが、（１）が誘導になっていることに気づけたかを確認しておきましょう。