「第６２１回　共学中の入試問題　平面図形 ３」

前回は、近年の共学中入試で出された「平面図形」の中から「円の一行問題」を取り扱いました。

今回は「辺の比と面積比の一行問題」について考えていきます。

１問目は、等高三角形の定番問題です。

【問題】三角形ＡＢＣを下の図のように面積の等しい６つの三角形に分けました。ＡＢの長さが２４㎝のとき、ＤＥの長さは何㎝ですか。

（法政大学中学校　２０２２年　問題２－（８）　問題文一部変更）

【考え方】

「イナズマ切り」ともいわれる、等高三角形の定番問題です。

等高三角形

高さが同じ三角形の面積比＝底辺比

「イナズマ切り」は、小さい三角形から考える解き方と全体から考える解き方の２つがあります。

今回は小さい三角形から見ていく解法を使ってみます。

図より、各辺の長さの比は次のように整理できます。

ＤＥ＝２４㎝×１５/４８＝７.５㎝

答え　７.５㎝

本問は等高三角形の考え方が確認できる問題です。

２問目は、隣辺比の基本問題です。

【問題】図のように３辺の長さがＡＢ＝９㎝、ＢＣ＝１０㎝、ＣＡ＝７㎝の三角形があります。辺ＢＣ上に点Ｄがあり、ＢＤ＝３㎝とします。辺ＣＡ上に点Ｐがあり、２点Ｄ、Ｐ、を通る直線が三角形ＡＢＣを２等分します。このとき、ＣＰの長さは何㎝ですか。

（昭和学院秀英中学校　２０２３年　問題２－（１）　問題文一部変更）

【考え方】

１つの角を共有する２つの三角形の面積比は、その角をはさむ２辺の長さの積に等しいことを利用する問題です。

面積比　△ＡＢＣ：△ＰＤＣ＝２：１

↓

辺の比（積）（ＡＣ×ＢＣ）：（ＰＣ×ＤＣ）＝２：１

（７㎝×１０㎝）：（□㎝×７㎝）＝２：１

□＝５（㎝）

答え　５㎝

本問は隣辺比の基本が確認できる問題です。

３問目は、相似の基本問題です。

【問題】下の三角形ＡＢＣでＥＦ、ＤＧは辺ＡＣに平行です。ＢＦ：ＦＧ：ＧＣ＝３：５：２で、斜線部分の面積が１１０㎠のとき、三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。

（明治大学付属中野八王子中学校　２０２２年　問題２－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

三角形ＡＢＣと三角形ＤＢＧと三角形ＥＢＦは相似で、相似比は

ＢＣ：ＢＧ：ＢＦ＝１０：８：３

です。

（面積比）＝（相似比）×（相似比）なので、三角形ＡＢＣと三角形ＤＢＧと三角形ＥＢＦの面積比は

（１０×１０）：（８×８）：（３×３）＝１００：６４：９

です。

よって、

（三角形ＡＢＣの面積）：(斜線部分の面積)＝１００：（６４－９）＝２０：１１

です。

１１０㎠×２０/１１＝２００㎠

答え　２００㎠

本問は三角形の相似の基本が確認できる問題です。

今回最後の問題は、相似の応用問題です。

【問題】下の図のような面積が１２０㎠の平行四辺形ＡＢＣＤがあります。対角線ＢＤを３等分する点をＥ、Ｆとし、直線ＡＥ、ＡＦを延長した直線が辺ＢＣ、ＣＤと交わる点をそれぞれＧ、Ｈとします。五角形ＥＧＣＨＦの面積を求めなさい。

（広尾学園中学校　２０２２年　問題１－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

「ダブル・チョウチョ」といわれることのある２組の相似を利用する、これも定番の問題です。

点Ｅ、Ｆが対角線ＢＤを３等分していますので、辺の比と面積比は次のようになります。

三角形ＡＢＤの面積に着目すると、

②＋④＝４□＋２□

となっていますので、

①＝１□

とわかります。

よって、平行四辺形ＡＢＣＤの面積は次のように区切られていることになります。

②×３＝１２０㎠÷２

①＝１０㎠

１２０㎠－１０㎠×（２×３＋１×２）＝４０㎠

答え　４０㎠

本問は２組の相似な三角形と等高三角形を組み合わせて解く問題です。

「比合わせ」を必要としない問題ですから、もし正解できなかったときは「辺の比と面積比」の考え方がまちがっていないかをチェックしましょう。

なお、対角線ＡＣを引いて平行四辺形ＡＢＣＤを三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＣに分けて解く方法もあります。

今回は、近年の共学中入試で出された「辺の比と面積比の一行問題」をご紹介しました。

いずれも定番の問題ですので、等高三角形、相似までの学習を終えているようでしたら、基本の解法がマスターできているかを、これらの問題で確かめてみましょう。

次回は、同じ「辺の比と面積比」の問題から、大問形式のものを取り扱っていく予定です。