第612回　共学中の入試問題　比と割合 7

割合の練習問題｜ 2023年04月01日18時00分

「第６１２回　共学中の入試問題　比と割合７」

前回は２０２２年度の共学中入試で出された「比と割合」から、「仕事算」について考えました。

今回はその応用となる「ニュートン算」について見ていきます。

１問目は、ニュートン算の基本問題です。

【問題】新しいゲームソフトの発売日に、ある店の前にはすでに１０８人が並んでいます。さらに、この行列に毎分６人の割合で人が並んでいきます。３つのレジで対応すると、この行列は１８分でなくなりました。４つのレジで対応すると、この行列は何分何秒でなくなりますか。

（東京農業大学第一高等学校中等部　２０２２年　問題４－（１））

【考え方】

ニュートン算の基本的な解き方には、合計に着目する解き方と１分あたりなどの単位量に着目する解き方の２つがあります。

本問では、合計に着目する解き方を使ってみます。

１つのレジが１分間に対応する人数を□人とすると、次のような線分図に整理できます。

□人/分×３×１８分＝１０８人＋６人/分×１８分

□＝４　…　１つのレジが１分間に対応する人数

次に、４つのレジで対応すると△分で行列がなくなることを線分図で表します。

４人/分×４×△分＝１０８人＋６人/分×△分

１６×△＝１０８＋６×△

１０×△＝１０８

△＝１０.８（分）

１０.８分＝１０分４８秒

答え　１０分４８秒

本問は、合計に着目するニュートン算の解き方が確認できる問題です。

「合計が等しい」ことに着目するときは、上記のように線分図を利用すると考えやすくなります。

では、２問目です。

【問題】毎分１０Ｌの割合で水そうに水を入れていきます。この水そうには２つの排水管Ａ、Ｂがあり、ＡはＢより１分あたり５Ｌ多く排水されます。水そうがいっぱいになったところで、Ａのみで排水すると９分で、Ｂのみで排水すると２４分で水そうは空になります。このとき、水そうの容量を求めなさい。ただし、排水管を開いてからも毎分１０Ｌの割合で水を入れ続けています。

（市川中学校　２０２２年　問題１－（３））

【考え方】

今回は、単位量に着目する解き方を用いてみます。

はじめに、「全体の仕事量＝時間の最小公倍数」と仮定すると、９と２４の最小公倍数の７２○が水そうの容量です。

７２○÷９分＝⑧/分　…　排水管Ａの１分あたりの排水量－１０Ｌ/分

７２○÷２４分＝③/分　…　排水管Ｂの１分あたりの排水量－１０Ｌ/分

⑧－③＝５

①＝１

１Ｌ×７２＝７２Ｌ

答え　７２Ｌ

本問は、全体の仕事量を時間の最小公倍数に仮定とするニュートン算の解法が確認できる問題です。

単位量に着目するときは全体の仕事量を時間の最小公倍数に仮定しますので、「水そう解法」を利用すると整理がしやすいです。

３問目は、大問形式のニュートン算の問題です。

【問題】水そうに給水管が１本ついていて、毎分１４Ｌの水が入ります。また、この水そうの底に排水管が５本ついていて、どの排水管からも一定の割合で同じ量の水が出ます。はじめに、９時に何Ｌかの水が水そうに入っている状態で、給水管１本と排水管５本を同時に開け、９時１０分に排水管１本を閉じ、９時２０分にさらに排水管３本を閉じました。水そうに入っている水量を調べると、９時１０分の水量は９時の水量の１／２で、９時２０分の水量は９時の水量の１／３でした。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）排水管１本から毎分何Ｌの水が出ますか。

（２）９時の水量は何Ｌでしたか。

（３）水量が初めて２００Ｌになるのは、何時何分ですか。ただし、水そうの容量は２００Ｌ以上あるものとします。

（明治大学付属明治中学校　２０２２年　問題３）

【考え方】

（１）

問題の条件を「水そう解法」で整理します。