第608回 共学中の入試問題 比と割合 3
「第６０８回 共学中の入試問題 比と割合 ３」
前回は、２０２２年度の共学中入試で出された「比と割合」の中から、「食塩水の濃さの一行問題」などを見ました。
今回は「食塩水の濃さ」の大問形式の問題を扱っていきます。
まずは、１問目です。
【問題】容器Ａには濃度４％の食塩水が３００ｇ、容器Ｂには濃度１０％の食塩水が２００ｇ入っています。容器Ａと容器Ｂから同じ重さの食塩水を同時に取り出し、容器Ａから取り出した食塩水は容器Ｂに、容器Ｂから取り出した食塩水は容器Ａに入れてよくかき混ぜると、容器Ａと容器Ｂの食塩水の濃度は等しくなりました。
（１）かき混ぜた後の容器Ａの食塩水の濃度は何％ですか。
（２）容器Ａから取り出した食塩水の重さは何ｇですか。
（成蹊中学校 ２０２２年 問題３）
【考え方】
（１）
食塩水のやりとりの問題は、流れ図に整理することが解き方の基本です。
本問は「等量交換」をしますので、食塩水の重さの合計や食塩の重さの合計が変わらないことにも着目します。
また、「交換後の濃度が等しい」ことから、その濃度は「すべてを混ぜ合わせたときの濃度と同じ」という点も大切なポイントです。
（３００ｇ×０.０４＋２００ｇ×０.１）÷（３００ｇ＋２００ｇ）＝０.０６４
☆％＝６.４％
答え ６.４％
（２）
（１）より、交換後の容器Ａの中の食塩の重さは
３００ｇ×０.０６４＝１９.２ｇ
と分かりますから、交換前よりも
１９.２ｇ－１２ｇ＝７.２ｇ
増加しています。
濃度４％の食塩水と濃度１０％の食塩水を１００ｇ交換すると、食塩の重さは
１００ｇ×（０.１－０.０４）＝６ｇ
変化します。
よって、交換した食塩水の重さは
１００ｇ×７.２ｇ／６ｇ＝１２０ｇ
です。
答え １２０ｇ
（別解）…天びん法の利用
（１）
容器Ａと容器Ｂの食塩水をすべて混ぜたときの様子を天びん法で整理します。
重さの比 ３００ｇ：２００ｇ＝３：２
↓
うでの長さの比 ②：③
②＋③＝１０％－４％
①＝１.２％
４％＋１.２％×２＝６.４％
答え ６.４％
（２）
容器Ａの様子を天びん法で整理します。
うでの長さの比 （６.４％－４％）：（１０％－６.４％）＝２：３
↓
重さの比 ③：②
③ｇ＋②ｇ＝３００ｇ
①ｇ＝６０ｇ
６０ｇ×２＝１２０ｇ … ＢからＡに移した食塩水の重さ
ＢからＡに移した食塩水の重さとＡからＢに移した食塩水の重さは同じですから、答えは１２０ｇです。
答え １２０ｇ
本問は、食塩水の等量交換の解法が確認できる問題です。
「食塩水の濃さ」では定番問題の１つですので、正解できなかったときはすぐにおさらいをしましょう。
では、２問目です。
【問題】食塩水Ａ、Ｂ、Ｃがあります。Ａの量は、Ｃの量の２倍で、濃度はＡが１５％、Ｂが５％、Ｃが９％です。また、３つの食塩水をすべて混ぜ合わせると１１％の食塩水が６００ｇできます。このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）ＡとＣをすべて混ぜ合わせると何％の食塩水ができますか。
（２）Ｂは何ｇですか。
（３）ＡとＢを混ぜ合わせて９％の食塩水をできるだけ多く作るとき、食塩水は何ｇできますか。
（山手学院中学校 ２０２２年 問題３）
【考え方】
（１）
食塩水の重さが割合で表されていますので、天びん法を利用します。
②＋①＝１５％－９％
①＝２％
９％＋２％×２＝１３％
答え １３％
（別解）
食塩水Ａの重さを２００ｇ、食塩水Ｃの重さを１００ｇと仮定して、次のように「塩分数」を用いて計算する方法もあります。
答え １３％
（２）
（１）の食塩水にＢを混ぜると１１％の食塩水が６００ｇできます。
①＋③＝６００ｇ
①＝１５０ｇ
答え １５０ｇ
（３）
（２）より、ＡとＣの重さの和は
１５０ｇ×３＝４５０ｇ
ですから、Ａは
４５０ｇ×２／３＝３００ｇ
です。
ＡとＢのどちらか一方をすべて使う場合を調べます。
・Ａをすべて使う場合
②＝３００ｇ
より
③＝４５０ｇ
となりますが、Ｂは１５０ｇしかないのでこの組み合わせ方はできません。
・Ｂをすべて使う場合
③＝１５０ｇ
より
②＝１００ｇ
となり、Ａは３５０ｇありますので、この組み合わせ方は可能です。
１００ｇ＋１５０ｇ＝２５０ｇ
答え ２５０ｇ
本問は、重さが割合で与えられているときの条件整理方法と「過不足がでる組み合わせ」の考え方が確認できる問題です。
今回は２０２２年度の共学中の入試で出された「食塩水の濃さ」の大問形式の問題について考えました。
「食塩水のやりとり」がテーマの問題を解くためには、流れ図などの整理方法、整理した条件の着眼点とそれに適した解法をマスターしておくことが大切です。
次回は、今回よりも少し難しい大問形式の「食塩水の濃さ」を取り扱う予定にしています。
