「第６０４回　共学中の入試問題　数と計算 ７」

前回は、２０２２年度の共学中入試の中から「数の規則性」の一行問題を中心に見ました。

今回は、同じ「数の規則性」から大問形式の問題を取り上げます。

それでは、１問目です。

【問題】等くんは左の手のひらを広げ、親指から番号をつけて次のように数えました。

１（親指）、２（人差し指）、３（中指）、４（薬指）、５（小指）、６（薬指）、７（中指）、８（人差し指）、９（親指）、１０（人差し指）、１１（中指）、…

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）小指が２０回目に数えられる番号はいくつですか。

（２）人差し指が１００回目に数えられる番号はいくつですか。

（３）（ ア ）に当てはまる語句と（ イ ）に当てはまる数字をそれぞれ答えなさい。

（ ア ）指が（ イ ）回目に数えられる番号は２０２２です。

（東京都市大学等々力中学校　２０２２年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

「繰り返しタイプの数列」なので、カレンダー型の表に整理します。

この数列の各群には８個の番号があり、その中に小指は１回だけ含まれます。

よって、小指が２０回目に数えられるのは第２０群です。

小指の番号は「５からはじまる公差が８の等差数列」になっていますから、２０回目に数えられる小指の番号は、

５＋８×（２０－１）＝１５７

です。

答え　１５７

（別解）

各群で「２回目に数えられる人差し指の番号が８の倍数」になっていることに着目すると、第２０群で２回目に数えられる人差し指の番号は、

８×２０＝１６０

です。

小指の番号はそれよりも３小さいので、

１６０－３＝１５７

のようにして求めることもできます。

（２）

各群で人差し指は２回数えられますから、１００回目は

１００÷２＝５０余り０

より、第 ５０群の２回目です。

（１）の別解の考え方を利用します。

８×５０＝４００

答え　４００

（３）

これも（１）の別解の考え方が利用できます。

２０２２÷８＝２５２余り６

より、第２５２群で２回目に数えられる人差し指の番号は

８×２５２＝２０１６

です。

続きを書き出すと

となるので、番号が２０２２となるのは、第２５３群で２回目に数えられる薬指です。

２×２５３＝５０６（回目）

答え　ア　薬、　イ　５０６

本問は数の並びが蛇行している「繰り返しタイプの数列」の問題ですが、「カレンダー型の表に整理」するという基本は変わりません。

数の並びはやや複雑ですが、「８つの番号を繰り返しているから８の倍数に着目」のように考えると、（２）、（３）も考えやすくなります。

では、２問目です。

【問題】次のように、１段目に１から１００までの数を並べ、２段目から１００段目は１つ上の段のとなり合った２数の和を並べます。

また、Ａ段目の左からＢ番目の数を（Ａ、Ｂ）と表します。例えば、（３、２）＝１２です。

（１）（６、６）はいくつですか。

（２）奇数は何個ありますか。

（３）３２０は全部で３個あります。（Ａ、Ｂ）＝３２０になる（Ａ、Ｂ）をすべて答えなさい。

（中央大学附属中学校　２０２２年　問題５）

【考え方】

（１）

書き出して調べてみます。

上の表から、６段目には１１２からはじまる公差が３２の等差数列が並ぶと分かります。

１１２＋３２×（６－１）＝２７２

答え　２７２

（２）

（１）の表から、奇数が並ぶ段は１段目と２段目だけと分かります。

１００÷２＝５０（個）　…　１段目の奇数の個数

また、１段目には１００個の数が並んでいますから、間の個数は

１００－１＝９９（個）

です。

５０＋９９＝１４９（個）

答え　１４９個

※ ２段目は３からはじまる奇数ですから、

（１９９＋１）÷２－１＝９９（個）

のように求めることもできます。

（３）

となり合う２数の差は１段目から順に１、２、４、８、１６、３２、…のように２倍になっています。

２段目の最後の数が１９９、３段目の最後の数が３９６ですから、３２０が並ぶのは３段目以下と分かります。

３段目の場合

８からはじまる公差が４の数が９８個並んでいます。

８＋４×（□－１）＝３２０

□＝（３２０－８）÷４＋１＝７９（番目）　→　適する

４段目の場合

２０からはじまる公差が８の数が９７個並んでいます。

２０＋８×（□－１）＝３２０

□＝（３２０－２０）÷８＋１＝３８.５　→　小数は適さない

５段目の場合

４８からはじまる公差が１６の数が９６個並んでいます。

４８＋１６×（□－１）＝３２０

□＝（３２０－４８）÷１６＋１＝１８（番目）　→　適する

６段目の場合

１１２からはじまる公差が３２の数が９５個並んでいます。

１１２＋３２×（□－１）＝３２０

□＝（３２０－１１２）÷３２＋１＝６.５　→　小数は適さない

７段目の場合

２５６からはじまる公差が６４の数が９４個並んでいます。

２５６＋６４×（□－１）＝３２０

□＝（３２０－２５６）÷６４＋１＝２（番目）　→　適する

８段目は１番目の数が

２５６＋３２０＝５７６

ですから、３２０はありません。

答え　（３、７９）、（５、１８）、（７、２）

本問は、前問が次の問題のヒントになっている誘導形式の問題です。

大問形式の「数の規則性」では、本問のように「前半の問題で調べると、後半の問題につながる規則が見つかる」ように作られた問題があります。

このような問題では、「調べる」ときに見やすく書くと、以降の問題の正解を増やすことができます。

今回は、２０２２年度の共学中の入試で出された、大問形式の「数の規則性」をご紹介しました。

１問目では「繰り返しタイプの数列」は「カレンダー型の表に整理」という基本の解き方の他に「倍数に着目」というポイントを、また、２問目では誘導形式の問題で正解を増やすための方法を確認してみましょう。

次回は、「約束記号」と「数の操作」がテーマの問題を見ていく予定です。