「第６００回　共学中の入試問題　数と計算 ３」

ここまで、２０２２年度に出された共学中の入試問題の中から「数と計算」について見てきています。

今回は大問形式の「約数と倍数」を取り扱います。

では、１問目です。

【問題】三田くんと玉川さんが、約数について話をしています。

三田くん：ねぇ玉川さん、整数の約数について、先生から面白い話を聞いたんだ。

玉川さん：どんな話？

三田くん：例えば、１２の約数が何個あるかって問題はどうやって考える？

玉川さん：こうやって書いて、６個って考えるかな？

三田くん：僕もそうやって解いてたんだけど、全部の約数を書き出さなくても分かる方法を教えてもらったんだ。

玉川さん：どうやるの？教えて！

三田くん：まずは、１２を素数のかけ算で表すと、１２＝２×２×３だね。

玉川さん：それで？

三田くん：２×２の約数を横に並べ、別の素数である３の約数を縦に並べて長方形を区切ると、区切られてできた四角形の個数が約数の個数になるんだよ。

玉川さん：なるほどね。しかもそれぞれの四角形の面積が約数と対応しているんだね。

三田くん：玉川さん、すごい。そうなんだよ。僕は先生に言われるまで、そのことに気付けなかったな…。だから、１２の約数の和をすべて求める問題が出たら、１＋２＋３＋４＋６＋１２と計算しなくても解けるんだ。そして、図の長さが正確でなくても求められるね。

玉川さん：なるほど。面白い解き方を教えてくれてありがとう！

（１）１２の約数の和を求めなさい。

（２）３９６９の約数の個数を求めなさい。

（３）３９６９のすべての約数の和を、三田くんと玉川さんのやりとりを参考に、図を用いて求めなさい。どのように考えたかも合わせて答えなさい。

（三田国際学園中学校　２０２２年　問題４）

【考え方】

（１）

玉川さんの「それぞれの四角形の面積が約数と対応している」を利用します。

6個の区切られた四角形の面積をそれぞれ求めてからたしても構いませんが、6個の四角形を合わせた大きな長方形の面積を求める方が簡単です。

（１＋２＋４）×（１＋３）＝２８

答え　２８

（２）

３９６９を素数のかけ算で表します。

３９６９＝３×３×３×３×７×７

これを問題の図と同じように長方形に表します。

５×３＝１５

答え　１５個

（３）

１＋３＋９＋２７＋８１＝１２１

１＋７＋４９＝５７

１２１×５７＝６８９７

答え　図　（２）の図を参照、　和　６８９７

本問は、約数の個数と約数の和を計算で求める解き方が確認できる問題です。

解き方を知らなかったり忘れたりしていたときは、三田くんと玉川さんの会話がヒントに学び直しましょう。

では、２問目です。

【問題】電球が２００個あり、それぞれの電球に１、２、３、…、２００と番号がついています。すべて消灯しており、点灯したり消灯したりするためのボタンがついています。このボタンは消灯しているときに押すと点灯し、点灯しているときに押すと消灯します。これらの電球に対して

操作１　１の倍数の番号が書かれた電球のボタンを押す。

操作２　２の倍数の番号が書かれた電球のボタンを押す。

操作３　３の倍数の番号が書かれた電球のボタンを押す。

…

操作２００　２００の倍数の番号が書かれた電球のボタンを押す。

という操作を行います。次の問いに答えなさい。

（１）１から１０の番号がついている電球に対して、この操作を行いました。点灯している電球の個数を求めなさい。

（２）１から１００の番号がついている電球に対して、この操作を行いました。点灯している電球の個数を求めなさい。

（３）２００個すべての電球に対してこの操作を行ったところ、操作１から操作２００のうち、ある１つの操作を忘れてしまったため、点灯している電球は１８個となりました。操作を忘れていなければ、その操作番号と同じ番号の電球は点灯しているはずでした。忘れた操作番号を求めなさい。

（広尾学園中学校　２０２２年　問題３）

【考え方】

（１）

順に調べてみます。

上の表より、操作１０まで行ったときに点灯している電球は１、４、９の３個です。

答え　３個

（２）

（１）の表に着目します。

操作１０まで行ったときに点灯している電球はボタンを奇数回押された電球で、偶数回押された電球は消灯してます。

また、ボタンが押されたときの操作番号は、電球の番号の約数にもなっています。

以上から、点灯する電球は電球の番号の約数が奇数個の電球であることが分かります。

いま操作を行う電球の番号は１００以下です。

よって、操作番号が１０１以上の操作によってボタンを押される電球はありませんので、この問題は「番号が１から１００までの電球に、操作１から操作１００までを行う」ということになります。

約数の個数が奇数個となる整数は平方数ですから、点灯している電球の番号は

１、４、９、１６、２５、３６、４９、６４、８１、１００

の１０個です。

答え　１０個

（３）２００個すべての電球に問題の操作をすべて忘れずに行うと、

１×１＝１

２×２＝４

３×３＝９

４×４＝１６

…

１３×１３＝１６９

１４×１４＝１９６

の１４個の電球が点灯します。

よって、「操作を忘れていなければ、その操作番号と同じ番号の電球は点灯しているはずでした」という条件より、忘れた操作の番号は１、４、９、１６、…、１６９、１９６のいずれかと決まります。

操作１を忘れたとき

１～２００の２００個の電球すべてについてボタンを押される回数が１回減るので、点灯している１４個すべてが消灯し、消灯している１８６個がすべて点灯します。

よって、点灯している電球は１４－１４＋１８６＝１８６（個）です。　→　不適当

操作４を忘れたとき

２００÷４＝５０（個）の電球についてボタンを押される回数が１回減ります。

点灯している１４個のうち、４、１６、３６、１００、１４４、１９６の６個が消灯し、消灯している１８６個のうち、５０－６＝１４（個）が点灯します。

よって、点灯している電球は１４－６＋１４＝２２（個）です。　→　不適当

操作９を忘れたとき

２００÷９＝２２（個）余り２より２２個の電球についてボタンを押される回数が１回減ります。

点灯している１４個のうち、９、３６、８１、１４４の４個が消灯し、消灯している１８６個のうち、２２－４＝１８（個）が点灯します。

よって、点灯している電球は１４－４＋１８＝２８（個）です。　→　不適当

操作１６を忘れたとき

２００÷１６＝１２（個）余り８より１２個の電球についてボタンを押される回数が１回減ります。

点灯している１４個のうち、１６、６４、１４４の３個が消灯し、消灯している１８６個のうち、１２－３＝９（個）が点灯します。

よって、点灯している電球は１４－３＋９＝２０（個）です。　→　不適当

操作２５を忘れたとき

２００÷２５＝８（個）の電球についてボタンを押される回数が１回減ります。

点灯している１４個のうち、２５、１００の２個が消灯し、消灯している１８６個のうち、８－２＝６（個）が点灯します。

よって、点灯している電球は１４－２＋６＝１８（個）です。

答え　２５

本問は、整数と約数の個数の関係についての理解が確認できる問題です。

（１）が（２）の誘導になっていますので、もし正解できなかったときは（１）で問題の解き方をチェックしましょう。

（３）は（１）（２）よりも難しい問題です。

調べている過程で、１８個－１４個＝４個から約数の個数が４個以上の場合だけでよいことに気づければ、「２００÷４＝５０より１、４、９、１６、２５、４９の６つの場合についてだけ」と分かる問題でした。

今回は、２０２２年度の共学中の入試問題から、大問形式の「約数と倍数」の問題をご紹介しました。

整数と約数の個数の関係は大切な知識です。

この単元を学習し終えているときは、１問目の解き方と合わせ、上記の表についても確認しておきましょう。