「第５９９回　共学中の入試問題　数と計算 ２」

前回から、２０２２年度に出された共学中の入試問題を見ています。

今回は、「数と計算」の中から「約数と倍数」の問題について考えていきます。

では、１問目です。

【問題】５桁の整数の中で、０.３をかけても０.３で割っても答えが整数になるような数のうち、１番小さな数を答えなさい。

（東京農業大学第一高等学校中等部　２０２２年　問題２－（１））

【考え方】

約数と倍数の問題の基本の解き方は、問題文を式で表すことです。

□×０.３＝整数

□÷０.３＝整数

０.３を分数にしたかけ算の式に直します。

□×３/１０＝整数　…　ア

□×１０/３＝整数　…　イ

アの式から□は１０の倍数、イの式から□は３の倍数とわかりますから、□は３０の倍数です。

また、□は５けたの整数の中で最小です。

３０×★≧１００００

１００００÷３０＝３３３余り１０　→　★は３３４以上

３０×３３４＝１００２０

答え　１００２０

本問は、問題の条件を式に表すという基本の解き方が確認できる問題です。

「（計算の）答えが整数になる」という条件から、小数を分数に書き直すことに気づくこともポイントです。

では、２問目です。

【問題】全部で９個の約数をもつ整数について、その整数の約数を小さい順に並べ、下の図の①～⑨へ入れていきます。次の問いに答えなさい。

（１）ある整数の約数を⑥まで入れました。残りの⑦、⑧、⑨に入る数をそれぞれ答えなさい。

（２）（③の数）×（⑤の数）×（⑦の数）が３５９３７となる整数を答えなさい。

（明治大学付属中野八王子中学校　２０２２年　問題５　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

例えば、整数９の約数は１、３、９の３個で、

９＝１×９＝３×３

となるように、約数が奇数個の整数Ａは、

Ａ

＝１×Ａ

＝（小さい方から２番目の約数）×（大きい方から２番目の約数）

…

＝（真ん中の約数）×（真ん中の約数）

となります。

これを利用すると、

ある整数＝（⑤の数）×（⑤の数）

となります。

６×６＝３６　…　ある整数

３６の約数は大きい方から順に、３６、１８、１２です。

答え　⑦　１２、　⑧　１８、　⑨　３６

（２）

（１）より、

（③の数）×（⑦の数）＝（⑤の数）×（⑤の数）＝ある整数

となりますから、

（③の数）×（⑤の数）×（⑦の数）

＝（⑤の数）×（⑤の数）×（⑤の数）

＝３５９３７

です。

３５９３７

＝３×３×３×１１×１１×１１

＝３３×３３×３３

↓

⑤の数＝３３

３３×３３＝１０８９

答え　１０８９

本問は、「約数を横Ｔの字に書き出す」という基本の求め方を応用する問題です。

正解できないようでしたら、「整数Ａ＝Ｂ×Ｃ→ＢとＣはＡの約数」という読み取り方を確認しましょう。

では、３問目です。

【問題】次の各問いに答えなさい。

（１）３けたの整数の中で、１１の倍数は何個ありますか。

（２）３けたの整数の中で、１７番目に大きい１７の倍数は何ですか。

（３）２０１２０１と３６５８２の公約数の中で、最も大きい３けたの数は何ですか。

（４）１００や２１２のように、同じ数字が２個だけ使われている３けたの整数は何個ありますか。

（青山学院横浜英和中学校　２０２２年　問題３）

【考え方】

（１）

１以上９９９以下の１１の倍数は

９９９÷１１＝９０（個）余り９

あります。

１以上９９以下の１１の倍数は

９９÷１１＝９（個）

あります。

よって、１００以上９９９以下の１１の倍数は

９０個－９個＝８１個

です。

答え　８１個

（２）

９９以下に１７の倍数は

９９÷１７＝５（個）余り１４

より、５個とわかります。

よって、３けたの整数の中で１７番目に大きい１７の倍数は、一番小さい１７の倍数

１７×１＝１７

から数えて

５＋１７＝２２（番目）

の数です。

１７×２２＝３７４

答え　３７４

（３）

「公約数は最大公約数の約数」ですから、はじめに最大公約数を求めます。

２０１２０１と３６５８２の最大公約数は

３×７×１３×６７＝１８２９１

です。

１８２９１の約数のうち、３けたの数は

３×６７＝２０１

３×７×１３＝２７３

７×６７＝４６９

１３×６７＝８７１

の４個があります。

答え　８７１

（４）

０を含む数

□□０　…　□＝１～９　９通り

□０□　…　□＝１～９　９通り

□００　…　□＝１～９　９通り

よって、０を含む数は

９＋９＋９＝２７（個）

です。

０を含まない数

３つの数の並び方は□□■、□■□、■□□の３通りがあり、このとき、□の選び方は９通り、■の選び方は８通りあります。

よって、０を含まない数は

３×９×８＝２１６（個）

です。

２７＋２１６＝２４３（個）

答え　２４３個

本問は、（１）で倍数の個数、（２）で個数の数え方、（３）で公約数の求め方が確認できる問題です。

今回は、２０２２年度に共学中の入試問題の中から「約数と倍数」の問題をご紹介しました。

３問目の（４）は場合の数の問題ですが、それ以外の問題は「約数と倍数」の基本の解き方で正解することができますので、この単元を習い終えていたら解き方をチェックしてみましょう。