「第５９６回　女子中の入試問題　場合の数 ２」

前回から、２０２２年度の女子中の入試で出された「場合の数」の問題について考えています。

今回は「数作り」と「ご石並べ」の大問形式の問題を取り扱います。

はじめは「数作り」の問題です。

【問題】次の問いに答えなさい。

（１）２０２２のように、４けたの整数で、千の位の数、百の位の数、十の位の数、一の位の数のうち３つが２である整数は全部で何個ありますか。

（２）（１）で求めた整数のうち、３の倍数は何個ありますか。

（白百合学園中学校　２０２２年　問題１）

【考え方】

（１）

はじめに、問題の条件を□を使って表してみましょう。

２２２□

２２□２

２□２２

□２２２

次に、それぞれの□にあてはまる数が何通りあるか考えます。

２２２□　…　□は２以外の９通り

２２□２　…　□は２以外の９通り

２□２２　…　□は２以外の９通り

□２２２　…　□は０と２以外の８通り

９＋９＋９＋８＝３５（個）

答え　３５個

※　９×４－１＝３５（個）のように求めてもOKです。

（２）

３の倍数は各位の数の和が３の倍数となる数です。

２が３つと□が１つありますから

２＋２＋２＋□＝６＋□＝３の倍数

です。

６が３の倍数のなので、□は３の倍数または０であることが 分かります。

２２２□　…　□は０、３、６、９の４通り

２２□２　…　□は０、３、６、９の４通り

２□２２　…　□は０、３、６、９の４通り

□２２２　…　□は３、６、９の３通り

４＋４＋４＋３＝１５（個）

答え　１５個

※　４×４－１＝１５（個）のように求めてもOKです。

本問は、整数の先頭に０がこないことに注意して解く「数作り」の問題です。

４つの場合に分けて考えられたかを確認してみましょう。

次は、「ご石並べ」の問題です。

【問題】白い碁石と黒い碁石がたくさんあります。この中の６つの碁石を次のＡ、Ｂ、Ｃの規則にしたがって横一列に並べます。

Ａ　白い碁石を３つ以上使う。

Ｂ　白い碁石を３つ以上連続して並べない。

Ｃ　黒い碁石を３つ以上連続して並べない。

次の（ア）～（ウ）にあてはまる数を求めなさい。

①左はしと右はしが黒い碁石になる並べ方は（ア）通りあります。

②左はしと右はしが白い碁石になる並べ方は（イ）通りあります。

③左から３番目が白い碁石になる並べ方は（ウ）通りあります。

（フェリス女学院中学校　２０２２年　問題１－（５）問題文一部変更）

【考え方】

白い碁石が５個と黒い碁石が１個のとき規則Ｂ（連続は最大で２個まで）を満たすことができませんので、白い碁石は４個以下です。

このことと規則に気をつけながら、白い碁石を○、黒い碁石を●（テストのときは×とするほうが書きやすいでしょう）、色の分からない碁石を□として、問題の条件を表していきます。

①

●□□□□●という並べ方です。

白い碁石は３個または４個ですから、

４個の□に○が４個

または

４個の□に○が３個と●が１個

の２つの場合があります。

○が４個の場合

●○○○○●　→　規則Ｂに反する。

○が３個と●が１個の場合

●●○○○●　→　規則Ｂに反する。

●○●○○●　→　適する。

●○○●○●　→　適する

●○○○●●　→　規則Ｂに反する。

答え　ア　２（通り）

②

○□□□□○という並べ方です。

白い碁石は３個または４個ですから、

４個の□に○が２個と●が２個

または

４個の□に○が１個と●が３個

の２つの場合があります。

○が２個と●が２個の場合は、

○○●○●○

○○●●○○

○●○○●○

○●○●○○

の４通りがあります。

○が１個と●が３個の場合は、

○●○●●○

○●●○●○

の２通りがあります。

４＋２＝６（通り）

答え　イ　６

③

□□○□□□という並べ方です。

はじめに○の左側の□について調べます。

○●○□□□　…　ア

●○○□□□　…　イ

●●○□□□　…　ウ

この３つの場合について、右側の□も含めて調べていきます。

アの場合

○●○○●○

○●○○●●

○●○●○○

○●○●○●

○●○●●○

の５通り

イの場合

●○○●○○

●○○●○●

●○○●●○

の３通り

ウの場合

●●○○●○

●●○●○○

の２通り

５＋３＋２＝１０（通り）

答え　ウ　１０

本問は「連続する個数」と「使う個数」の２つの条件に注意して場合分けをし、それぞれ書き出して解いていきます。

計算だけでは上手くいかないことを見抜き、書き出しに切り替える判断力も大切なことが分かる問題でした。

今回は２０２２年度の女子中の入試で出された「場合の数」の問題の中から、場合分けがポイントとなる問題をご紹介しました。

前回と今回の２回にわたってみてきましたように、場合の数は樹形図に代表される書き出しの技術と順列や組み合わせのような計算の技術、それらを利用するために場合分けをする力、そして書き出しと計算の使い分け方（判断力）が必要な単元です。

書き出し、計算、場合分けの順に理解を深め、さらに今回見たような大問形式の問題を通して使い分け方を強化していきましょう