「第５８１回　女子中の入試問題　平面図形 ７」

これまで近年の女子中の入試で出された「平面図形」の問題を取り扱ってきました。

今回は「平面図形」の最終回として、「点の移動」から始まり「角（平面図形の性質）」、「辺の比と面積比」も登場してくる平面図形の総合問題です。

【問題】＜図１＞のように辺ＡＢと辺ＡＤの長さの比が２：３、あ○とい○の角度の比が２：１で、面積が６０㎠の平行四辺形ＡＢＣＤがあります。この辺上を、点Ｐが頂点Ｂを出発して、Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａと移動します。点Ｐは一定の速さでしばらく進んでから、途中で速さを１／２倍に変えて、そのままの速さで進みます。

このとき、点ＰがＢを出発してからＤに到着するまでの時間と、三角形ＰＡＢの面積との関係を表したものが＜図２＞のグラフです。

次の問いに答えなさい。

（１）点Ｐの速さが１／２倍になったのは、点ＰがＢを出発してから何秒後ですか。

（２）点ＰがＡに到着したのは、点ＰがＢを出発してから何秒後ですか。

（３）点ＰがＢを出発してから３０秒後の三角形ＰＡＢの面積を求めなさい。

（４）＜図３＞のように点ＰがＢを出発してから何秒後かに、○印をつけた３つの角度がすべて同じ大きさになりました。

①点ＰがＢを出発してから何秒後ですか。途中の式や考え方も書きなさい。

②ＡＢ：ＡＣをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（５）＜図４＞のように点ＰがＢを出発してから何秒後かに、色のついた部分の面積が１２㎠となりました。点ＰがＢを出発してから何秒後ですか。

（横浜雙葉中学校　２０２１年　問題３）

【考え方】

（１）

グラフより、１２秒後に三角形ＰＡＢの面積が初めて３０㎠になることが読み取れます。

３０㎠は平行四辺形ＡＢＣＤの面積６０㎠の半分ですから、１２秒後に点ＰはＣに到着したことがわかります。

ＡＢ：ＡＤ＝２：３より、ＡＢ＝１６、ＡＤ＝２４とします。

※点Ｐの速さが整数で表せるので計算がしやすくなりますが、２：３のままでもＯＫです。

２４÷１２秒＝２/秒　…　点Ｐのはじめの速さ

２/秒÷２＝１/秒　…　点Ｐのあとの速さ

グラフは「Ｄに到着するまで」を表していると問題文にありますから、点ＰはＣからＤまでの１６の距離を

２３秒－１２秒＝１１秒

で移動したことになります。

つるかめ算の考え方を利用して、

（１６－１/秒×１１）÷（２/秒－１/秒）＝５秒　…　点Ｐがはじめの速さでＣから進んだ時間

１２秒＋５秒＝１７秒後

答え　１７秒後

（２）

２３秒＋２４÷１/秒＝４７秒後

答え　４７秒後

（３）

＜図２＞のグラフを完成させます。

３０秒後の面積は下の相似な三角形（赤色の斜線部分）を利用すると、

３０㎠×１７／２４＝２１.２５㎠

とわかります。

答え　２１.２５㎠

※面積が毎秒１.２５㎠減ることや、下の図のように高さの等しい三角形の面積比から求めることもできます。

（４）－①

ＡＤとＢＣは平行ですから角ＡＣＢ＝○です。

さらに

三角形ＡＰＣの外角ＢＰＡ＝角ＰＡＣ＋角ＰＣＡ＝○×２

です。

ＡＢとＣＤは平行なので角ＡＣＤ＝○×２ですから、三角形ＡＢＰと三角形ＡＤＣは相似です。

相似比はＡＢ：ＡＤ＝２：３なので、

ＣＤ＝３□＝１６

ＢＰ＝２□＝１６×２／３＝３２／３

です。

ＢＣ上での点Ｐの速さは２/秒ですから、

３２／３÷２/秒＝１６／３秒後

とわかります。

答え　５ １／３秒後

（４）－②

①からわかる長さを図にかきこみます。

三角形ＡＰＣは二等辺三角形なので、

ＡＰ＝ＣＰ＝４０／３

です。

さらに、三角形ＡＢＰと三角形ＡＤＣの相似比が２：３なので、

ＡＣ＝ＡＰ×３／２＝４０／３×３／２＝２０

とわかります。

よって、

ＡＢ：ＡＣ＝１６：２０＝４：５

です。

答え　４：５

（５）

＜図４＞の三角形ＡＢＰの面積は＜図２＞のグラフより３０㎠です。

※グラフを用いず、平行四辺形の面積の半分と考えてもＯＫです。

３０㎠－１２㎠＝１８㎠　…　三角形ＡＢＥの面積

三角形ＡＢＥと三角形ＡＰＥは高さが等しい三角形ですから、

面積比　１８㎠：１２㎠＝３：２

↓

底辺の比　ＢＥ：ＰＥ＝３：２

とわかります。

三角形ＡＢＥと三角形ＣＰＥは相似で、相似比は

ＢＥ：ＰＥ＝３：２＝ＡＢ：ＣＰ

です。

１６×２／３＝３２／３　…　ＣＰの長さ

（１）より、点Ｐの速さはＣを出発してから５秒後に１／２倍になったので、その５秒間に進む距離は

２/秒×５秒＝１０

残りの

３２／３－１０＝２／３

は１/秒の速さで進みます。

１２秒＋５秒＋２／３÷１/秒＝１７ ２／３秒後

答え　１７ ２／３秒後

本問の前半は点が移動する様子を図形とグラフから読み取り、後半は平行線と角の大きさ、三角形の外角、高さが等しい三角形や相似な三角形、そして最後にもう一度点の移動が関係してくる、平面図形の総合問題でした。

平面図形の性質、辺の比と面積比を習い終えていましたら、平面図形で学んだいろいろな知識や解法が確認できますので、一度取り組んでみるとよいと思います。