「第５７８回　女子中の入試問題　平面図形 ４」

ここまで、近年の女子中の入試で出された「平面図形」の中から、「角の大きさ」、「面積を求める」問題について考えてきました。

今回取り扱うテーマは、等高図形や相似、隣辺比などの「辺の比と面積比」です。

はじめは定番の問題から見ていきます。

【問題】図のような長方形ＡＢＣＤがあります。ＡＥ＝２㎝、ＥＢ＝１㎝、ＢＦ＝３㎝、ＦＣ＝２㎝であるとき、次の問いに答えなさい。

（１）ＡＨ：ＨＦを最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２）三角形ＢＨＦの面積は何㎠ですか。

（３）ＡＧ：ＧＦを最も簡単な整数の比で表しなさい。

（４）ＡＧ：ＧＨ：ＨＦを最も簡単な整数の比で表しなさい。

（立教女学院中学校　２０２１年　問題２）

【考え方】

（１）

三角形ＡＨＤと三角形ＦＨＢは２つの角が等しいので相似です。

その相似比は、

ＡＤ：ＦＢ＝（３＋２）：３＝５：３

ですから、ＡＨ：ＨＦも５：３です。

答え　５：３

（２）

三角形ＡＨＤと三角形ＦＨＢの相似比は５：３ですから、高さの比も５：３です。

（２＋１）㎝×３／８＝９／８㎝　…　三角形ＦＨＢの高さ

３㎝×９／８㎝÷２＝２７／１６㎠

答え　１ １１／１６㎠

（別解）

三角形ＢＨＡと三角形ＢＨＦは高さが等しい三角形ですから、面積比と底辺の長さの比（ＡＨ：ＨＦ）は同じです。（等高図形）

３㎝×３㎝÷２×３／８＝２７／１６㎠

（３）

図のようにＤＥとＢＣを延長します。（角出し）

三角形ＡＥＤと三角形ＢＥＩは相似（２つの角が等しい）で、その相似比は

ＡＥ：ＢＥ＝２：１

です。

よって、ＡＤ：ＢＩも２：１なので、

ＢＩ＝５㎝×１／２＝２.５㎝

です。

三角形ＡＧＤと三角形ＦＧＩは相似（２つの角が等しい）で、その相似比は

ＡＤ：ＦＩ＝５：（２.５＋３）＝１０：１１

なので、ＡＧ：ＧＦも１０：１１です。

答え　１０：１１

（４）

（１）と（３）でわかったことを利用します。

ＡＧ＋ＧＦ＝ＡＦ＝ＡＨ＋ＨＦ

なので、

ＡＧ＋ＧＦ＝１０＋１１＝２１

と

ＡＨ＋ＨＦ＝５＋３＝８

の最小公倍数１６８をＡＦとします。（比合わせ）

ＧＨ＝ＡＦ－（ＡＧ＋ＨＦ）＝１６８－（８０＋６３）＝２５

答え　８０：２５：６３

本問の（４）は、２組の相似を利用して解く定番問題で、（１）と（３）がその誘導となっていました。

ポイントは（３）で「相似完成」の補助線を見つけるところにありますが、上記以外の補助線を用いても相似を完成させることは可能です。

では、もう１問見ていきましょう。

【問題】図の平行四辺形ＡＢＣＤはＡＥ：ＥＤ＝１：３で、ＡＤとＧＦは平行です。

（１）ＢＨ：ＨＦ：ＦＥを、最も簡単な整数の比で表しなさい。答えを出すために必要な式、図、考え方なども書きなさい。

（２）平行四辺形ＡＢＣＤの面積は三角形ＦＧＨの面積の何倍ですか。答えを出すために必要な式、図、考え方なども書きなさい。

（鷗友学園女子中学校　２０２１年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

はじめにＢＦ：ＦＥを求めるため、相似な三角形ＡＦＥと三角形ＣＦＢに着目します。

図より、

ＢＦ：ＦＥ＝４：１

とわかります。

次にＢＨ：ＨＦを求めるため、相似な三角形ＢＨＣと三角形ＦＨＧに着目します。

図より、ＧＦの長さが必要になりますので、先ほど求めた

ＢＦ：ＢＥ＝４：５

を利用します。

ＧＦ＝１×４／５＝４／５

ＢＨ：ＨＦ＝ＢＣ：ＦＧ＝４：４／５＝５：１

ここでＢＦに着目して比をそろえます。（比合わせ）

ＢＨ：ＨＦ：ＦＥ＝１０：２：３

答え　１０：２：３

（２）

（１）で求めた

ＢＨ：ＨＦ：ＦＥ＝１０：２：３

より、

ＨＦ：ＢＥ＝２：（１０＋２＋３）＝２：１５

ですから、三角形ＦＧＨの高さと平行四辺形ＡＢＣＤの高さの比も２：１５です。

また、底辺の長さの比は、

ＧＦ：ＡＤ＝４／５：（１＋３）＝１：５

です。

よって、

三角形ＦＧＨの面積：平行四辺形ＡＢＣＤの面積＝１×２÷２：５×１５＝１：７５

です。

７５÷１＝７５（倍）

答え　７５倍

（別解）　…　等高図形・相似の利用

三角形ＦＧＢの面積：三角形ＦＧＨの面積＝（１０＋２）：２＝６：１

三角形ＦＧＢの面積：三角形ＥＡＢの面積＝４×４：５×５＝１６：２５

三角形ＦＧＨの面積：三角形ＥＡＢの面積＝１６／６：２５＝８：７５

三角形ＥＡＢの面積：平行四辺形ＡＢＣＤの面積＝１：（４＋４）＝１：８

三角形ＦＧＨの面積：平行四辺形ＡＢＣＤの面積＝８／７５：８＝１：７５

本問の（１）は、前問の（４）と同様に２組の相似を利用する大切な問題でした。

また、（２）も辺の比と面積比の解き方が身についているかが確認できます。

今回は近年の女子中の入試で出された「辺の比と面積比」の定番問題を中心に見てきました。

次回も「辺の比と面積比」の問題を取り扱う予定ですので、まずは今回の問題で解法の定着度を確認してみましょう。