「第５７６回　女子中の入試問題　平面図形　２」

前回から、近年の女子中の入試で出された「平面図形」の問題を取り扱っています。

２回目は前回に引き続き「角の大きさ」から、大問形式の問題を見ていこうと思います。

【問題】下の図のように、正方形ＰＱＲＳの４つの角から同じ形の直角二等辺三角形を切り取り、正八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨを作りました。以下の問いに答えなさい。

（１）角アの大きさは何度ですか。

（２）角イの大きさは何度ですか。

（３）三角形ＡＰＢと三角形ＦＧＩの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

（香蘭女学校中等科　２０２１年　問題４　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

ＡＢＣＤＥＦＨＧは正八角形なので、ＨＧとＡＦは平行ですから、角ア＝角ＨＧＩです。

また、正八角形の１つの外角の大きさは、

３６０度÷８＝４５度

です。

角ＢＧＳは９０度なので、

角ア＝９０度－４５度＝４５度

です。

答え　４５度

（２）

正八角形は線対称な図形ですから、ＨＤを折り目として折り返すとＡとＧ、ＢとＦは重なり、また、ＨＤは交点Ｉを通ります。

ですから、三角形ＩＢＦは二等辺三角形とわかり、（１）で求めた角アが外角となります。

４５度÷２＝２２.５度

角ＡＦＥは９０度ですから、

イ＝９０度－２２.５度＝６７.５度

です。

答え　６７.５度

（３）

正八角形の１辺の長さを２とすると、三角形の底辺や高さは次の図のようになります。

三角形ＡＰＢの面積：三角形ＦＧＩの面積

＝（２×１÷２）：（２×２÷２）

＝１：２

答え　１：２

本問は、正多角形の性質を利用して解く問題で、「□＝偶数の正□角形は線対称な図形であり、しかも点対称な図形」、「□＝奇数の正□角形は線対称な図形」という知識が活用できるかを確認できる問題でした。

では、もう１問です。

【問題】次の問いに答えなさい。

（１）図１の印をつけた角の大きさの合計を求めなさい。

（２）図２の印をつけた角の大きさの合計を求めなさい。

（３）図３の印をつけた角の大きさの合計を求めなさい。

（頌栄女子学院中学校　２０２１年　問題３）

【考え方】

（１）

□角形の内角の和＝１８０度×（□－２）を利用します。

１８０度×（６－２）＝７２０度

答え　７２０度

（２）

［解法１］三角形を作る

次の図のように補助線を２本引いて２つの三角形を作ります。

三角形の内角の和は１８０度なので、

●＋▲＋×＝１８０度＝○＋△＋×

　↓

●＋▲＝○＋△

右側の三角形でも同じように考えると、印のついた角の合計は、四角形１つ分と三角形２つ分になることがわかります。

３６０度＋１８０度×２＝７２０度

答え　７２０度

［解法２］凹部を外側に「ふくらます（凸を作る）」

図のように内側にある四角形を外側に「ふくらませ」ます。

×の角の大きさが等しいので、赤色の網目部分の四角形にある３つの角の和は、それぞれ「ふくらませた」四角形の赤色の３つの角の和の大きさと同じです。

従って、残りの４つの角と赤色の６つの角を見ると、（１）と同じ六角形になっているので、印をつけた角の大きさの和は７２０度です。

答え　７２０度

（３）

（２）の［解法２］を利用すると、次の図のようになります。

１８０度×（１２－２）＝１８００度

答え　１８００度

本問は、角の和の大きさが等しくなるように図形を変形し、「□角形の内角の和＝１８０度×（□－２）」を利用して解く問題でした。

小問（２）の類題はテキストにもありますので、本問を正解できないときは、そちらに戻って復習をしてみましょう。

今回は、近年の女子中の入試問題の中から、「角の大きさ」をテーマとした大問形式の問題をご紹介しました。

「角の大きさ」について基本を学ぶときは「わかる角の大きさを図に書きこむ」という方法を通して角度問題の知識を増やし、応用問題を取り扱うようになったらその知識を利用して「何に着目すればよいか」「どの知識が使える問題か」のように、１ランク上の解き方ができるようになれるといいですね。