第571回　女子中の入試問題　速さ 4

速さの練習問題｜ 2022年01月08日18時00分

「第５７１回　女子中の入試問題　速さ　４」

女子中の２０２１年度入試で出された「速さ」の問題について考えています。

前回は「旅人算」のやや難しい定番の問題を取り扱いました。

今回は「旅人算」のグラフ問題を見ていこうと思います。

【問題】姉は徒歩通学をしています。ある日、学校まで残り４５０ｍの地点で忘れ物に気づいた姉は、歩いて家に引き返しました。妹は姉が家を出てから９分後に姉の忘れ物に気づき、姉を追いかけました。姉は妹から忘れ物を受け取った後、走って学校へ行き、妹は家に帰りました。下のグラフは、姉が家を出発してからの時間と、姉と妹の距離の関係を表したものです。ただし、家と学校は同じ直線道路沿いにあり、姉の歩く速さと走る速さはそれぞれ一定で、妹の速さは毎分６０ｍとします。次の問いに答えなさい。

（１）姉の歩く速さを求めなさい。

（２）ア□、イ□、ウ□にあてはまる数を求めなさい。

（３）姉の走る速さを求めなさい。

（東洋英和女学院中学部　２０２１年　問題９）

【考え方】

旅人算の進行グラフ（ダイヤグラム）は速さや向きが変わったときに曲がりますが、２人の間の距離を表す「隔たりグラフ」では向かい合って進み始めたり、同じ向きに進み始めたりした場合にも曲がることに注意して、グラフの読み取りをします。

（１）問題文からわかることをグラフに書き込むと次のようになります。

グラフより、姉は家を出発してからの９分間で８１０ｍ歩いたとわかります。

８１０ｍ÷９分＝９０ｍ/分　

答え　毎分９０ｍ

（２）９分後から姉が忘れ物に気づくア□分後までは、姉と妹は同じ向きに進んでいますが、姉の方が早いので２人の差が８１０ｍから９００ｍに広がっています。

（９００ｍ－８１０ｍ）÷（９０ｍ/分－６０ｍ/分）＝３分

９分＋３分＝１２分　→　ア□＝１２

２人の間の距離がイ□ｍとなる２７分後は、姉が学校に着いたときなのか、妹が家に着いたときなのかがよくわかりませんが、いずれの場合でも２７分後には姉は学校に、妹は家にいますから、イ□は家と学校との距離です。

しかし、隔たりグラフだけでは少し考えにくいので、わかった１２分後までの様子を線分図に整理してみます。

この線分図から、

イ□＝８１０＋２７０＋４５０＝１５３０（ｍ）

とわかります。

さらに、姉と妹が出会ったのは、

１２分後＋９００ｍ÷（９０ｍ/分＋６０ｍ/分）＝１８分後

ということもわかります。

妹は家を出発してから姉と出会うまでに９分かかりましたから、姉と出会ってから家に帰るまでの時間も９分かかります。

つまり、姉が家を出発してから

９分＋９分＋９分＝２７分後

に家に帰りますので、ウ□分に姉が学校に着いたことになります。

妹はウ□分後から２７分後までに、

１５３０ｍ－１３５０ｍ＝１８０ｍ

歩いています。

２７分－１８０ｍ÷６０ｍ/分＝２４分　→　ウ□＝２４

答え　ア　１２、　イ　１５３０、　ウ　２４

（３）１３５０ｍ÷（２４分－１８分）＝２２５ｍ/分　…　姉（走る）＋妹

２２５ｍ/分－６０ｍ/分＝１６５ｍ/分

答え　毎分１６５ｍ

本問は２人の間の距離を表す「隔たりグラフ」の読み取り問題でした。

隔たりグラフの問題は、

１　グラフが曲がる理由を考える

２　進行グラフ（ダイヤグラム）に書き換える

３　線分図に書き換える

の３つの方法から適切なものを選んで解きます。

隔たりグラフは速さのグラフの応用問題ですから、苦手な場合は進行グラフ（ダイヤグラム）の問題が解けるか、グラフと線分図の書き換えができるかといった点を、まずは確認してみましょう。

では、もう1問です。

【問題】直線上に点Ａ、Ｂがあり、ＡとＢの間は３０ｃｍです。直線上のＡとＢの間を、点Ｐと点Ｑがそれぞれ動きます。点ＰはＡを出発しＢに向かい、同時に点ＱはＢを出発しＡに向かいます。点Ｐ、Ｑは出会ったら向きを変えて進みます。点Ｐも点Ｑも、ＡまたはＢにたどり着いたら向きを変えて進みます。ただし、点ＱはＢにたどり着いたとき、２秒間止まってから再び動き出します。点Ｐ、Ｑの速さはそれぞれ一定です。また、グラフは点Ｐの移動の様子の一部を表したものです。

（１）点Ｐ、Ｑの速さはそれぞれ毎秒何ｃｍですか。必要であれば、下のグラフを用いなさい。答えを出すために必要な式、図、考え方なども書きなさい。