「第５６１回　女子校の入試問題　数の性質　２」

前回より、２０２１年度の女子校の中学入試で出された「数の性質」の問題について考えています。

今回のテーマは「余り」です。

１問目は、「余り処理」の一行問題です。

【問題】３２で割っても２１で割っても５余る４けたの整数のうち、小さい方から２番目の整数を求めなさい。

（頌栄女子学院中学校　２０２１年　問題１－（３））

【考え方】

「余り処理」の問題は、問題の条件を割り算の式で表し、もし割り切れるとしたら…と考えていくことが解き方の基本です。

はじめに、求める４けたの整数を□として式に表します。

□÷３２＝☆あまり５

□÷２１＝★あまり５

余りが出るということは、割られる数が余りの分だけ小さければ割り切れるということです。

（□－５）÷３２＝☆

（□－５）÷２１＝★

これらの式から、□－５は３２でも２１でも割りきれる数、つまり、３２と２１の公倍数（最小公倍数６７２の倍数）であることがわかります。

□－５＝６７２、６７２×２、６７２×３、…

求める整数は、４けたの整数のうち、小さい方から２番目の整数ですから、

□－５＝６７２×３

↓

□＝６７２×３＋５＝２０２１

です。

答え　２０２１

「余り処理」の問題には、「○÷？＝☆あまり★」のように表せる約数が関係した問題と、「？÷○＝☆あまり★」のように表せる倍数が関係した問題があります。

この単元の問題が苦手なときは、約数と倍数のいずれに関する問題かわかりやすくなりますので、問題条件を式に表して解くようにしてみましょう。

では、２問目です。

【問題】１４で割ると、商と余りが同じになる整数はいくつかあります。それらの整数を全部足すといくつですか。

（吉祥女子中学校　２０２１年　問題１－（７））

【考え方】

これも「余り処理」の問題ですから、条件を式に表してみます。

□÷１４＝☆あまり☆

「割る数と余りの関係」から、☆（余り）は１３以下と決まります。

「余り処理」の大切なポイントは、割り算の式だけで考えにくいときは「割り算の式をかけ算の式（割り算の確かめ算の式）に直す」ことです。

□÷１４＝☆あまり☆

↓

□＝１４×☆＋☆＝１５×☆

上の式で☆は整数ですから、求める整数□は１５の倍数であることがわかります。

☆は13以下なので、これらの整数の和は

１５×１３＋１５×１２＋１５×１１＋…＋１５×２＋１５×１

＝１５×（１３＋１２＋１１＋…＋２＋１）

＝１５×（１３＋１）×１３÷２

＝１３６５

です。

答え　１３６５　

３問目は「余り」がテーマの大問形式の問題です。

【問題】２つの整数Ａ、Ｂに対して、ＡをＢで割ったときのあまりがＣであるとき、【Ａ、Ｂ】＝Ｃと表すことにします。たとえば、【１２２、５】＝２、【４８，１６】＝０、【１５、【１２２、５】】＝１です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）【２０２１、【１０００、４７】】はいくつですか。

（２）【Ｐ、５】＝３を満たす３桁の整数Ｐで最小のものを求めなさい。

（３）【Ｑ、３】＝２、【Ｑ、５】＝４をともに満たす整数Ｑのうち、２０２１に最も近いものを求めなさい。

（４）【Ｒ、３】＝２、【Ｒ、５】＝４、【Ｒ、７】＝３を満たす整数Ｒのうち、最小のものを求めなさい。

（立教女学院中学校　２０２１年　問題３）

【考え方】

（１）

１０００÷４７＝２１あまり１３

２０２１÷１３＝１５５あまり６

答え　６

（２）

問題の条件を割り算の式に表します。

Ｐ÷５＝☆あまり３

上の式をかけ算の式に直すと

Ｐ＝５×☆＋３

となりますので、求める整数Ｐは５の倍数に３をたした数とわかります。

ですから、３桁で最小のものは、

５×２０＋３＝１０３

です。

答え　１０３

（３）

割り算の式に表してみましょう。

Ｑ÷３＝☆あまり２

Ｑ÷５＝★あまり４

「？÷○＝☆あまり★」のように表せる問題には、

①　余りが同じ

②　不足（＝割る数－余り）が同じ

③　①②以外

の３つの場合があります。

本問の２つの式はどちらも不足が１ですから、「②　不足が同じ場合」にあてはまります。

「不足が同じ」ということは、「もとの整数がその不足分だけ大きければ割りきれる」ということです。

したがって、求める整数Ｑに1を加えた数は３と５の公倍数ということになります。

Ｑ＋1＝１５×□

Ｑが2０２１に近ければよいので、

（２０２１＋１）÷１５＝１３４あまり１２

より、

□＝１３４または１３５

とわかります。

１５×１３４－１＝２００９

１５×１３５－１＝２０２４

答え　２０２４

（４）

問題の条件をよくみると、【Ｒ、３】＝２、【Ｒ、５】＝４の部分は、（３）と同じ意味であることに気づけます。

ですから、求める整数Ｒは１５の倍数より１小さい数のうち、７で割ると３余る数ということになります。

１５の倍数－１　１４　２９　４４　５９

７で割ると３余る　×　　×　　×　　○

答え　５９

本問は大問形式となっていましたが、解くために必要な考え方の基本ははじめの２問と同じで、そこに「？÷○＝☆あまり★」のように表せる問題には３つの場合があるという知識が加わっています。

この３つの場合については、考え方の理由を理解した上で、以下のポイントを覚えておくようにしましょう。