「第５５８回　共学校の場合の数　４」

ここまで、近年に共学校の中学入試で出された「場合の数」の問題について考えています。

今回取り扱うテーマは、場合の数の第１回で見ました「塗り分け」と第２回で見ました「組み合わせ」の応用問題です。

【問題】図１、図２のような旗があります。それぞれについてとなりあう部分が同じ色にならないように塗ります。

（１）図１の旗を赤・青・黄・緑の４色すべてを使う塗り方は何通りありますか。

（２）図１の旗を赤・青・黄の３色すべてを使う塗り方は何通りありますか。

（３）図２の旗を赤・青・黄の３色すべてを使う塗り方は何通りありますか。

（東京都市大学等々力中学校　２０２０年　問題５）

【考え方】

「塗り分け」問題の解き方は、色数と塗る場所の数、塗る図形が対称図形かどうかで決めます。

（１）色数と塗る場所の数が同じで、塗る部分は大きさや形がバラバラですから、最も基本的な問題です。

はじめに塗る場所に名前をつけておきます。

慣れれば、名前をつけなくてもＯＫです。

アは赤・青・黄・緑の４色のいずれかを使いますから４通り、イはアで使った色以外の３通り、ウはアとイで使った色以外の２通り、エは最後に残った１色ですから１通りです。

４通り×３通り×２通り×１通り＝２４通り

答え　２４通り

場合の数を習ったばかりのときや計算で解くのが苦手であれば、塗る場所に名前をつけておいてから、樹形図をかいて考えてもよいでしょう。

（２）これも樹形図をかいて考えてもよいのですが、計算で解けると理想的です。

ポイントは、「色数＜塗る場所の数　→　同じ色で塗る場所を先に決める」ことです。

本問は３色で４か所を塗りますからどれか１色を２か所に使うことになりますが、それには次の２つのパターンがあります。

Ａパターンの場合、☆色は赤・青・黄の３色のいずれかですから３通り、イは☆色以外の２通り、ウは残りの１色ですから１通りとなり、塗り方は、

３通り×２通り×１通り＝６通り

あります。

Ｂパターンの場合も、☆色は赤・青・黄の３色のいずれかですから３通り、アは☆色以外の２通り、エは残りの１色ですから１通りとなり、塗り方は、

３通り×２通り×１通り＝６通り

あります。

したがって、

６通り＋６通り＝１２通り

が答えです。

答え　１２通り

上記のようにＡパターンでもＢパターンでも計算式は同じですから、「どちらか１つのパターンについて塗り方を求め、それを２倍する」と考えることができるようになれば最高です。

（３）「色数＜塗る場所の数　→　同じ色で塗る場所を先に決める」というポイントは（２）と同じですが、塗り分けのもう１つの大切な考え方である、「最も多くの境界と接している部分から考える」も使うようにします。

上の図のように、「最も多くの境界と接している部分」であるエに着目すると、エで使った色は他の部分に使うことができないことがわかります。

したがって、次の図のように、アとオ、イとウをそれぞれ同じ色で塗るパターンしかないことがわかります。

エは赤・青・黄の３色のいずれかですから３通り、☆色はエ以外の２通り、◎色は残りの１色ですから１通りとなり、塗り方は、

３通り×２通り×１通り＝６通り

とわかります。

答え　６通り

本問の（２）、（３）は答えの値が小さいですから、樹形図などで書き出していっても正解できると思います。

書き出しで正解できるようになれば、解き方を次のレベルに上げていくために、計算を使って解く方法も練習していきましょう。

では、もう１問です。

【問題】６枚の１００円硬貨をＡさん、Ｂさん、Ｃさんの３人で分けます。次の問いに答えなさい。

（１）全員が必ず１枚以上もらえる場合、分け方は何通りありますか。

（２）１枚ももらえない人がいてもよい場合、分け方は何通りありますか。

（法政大学中学校　２０２０年　問題３）

【考え方】

（１）６枚すべてについて調べてもよいですし、全員が１枚ずつもらった後の残りの硬貨の分け方に着目すると、より小さい値で考えることができます。

ここでは、後者の方法で解いていきます。

全員が１枚ずつもらった後の残りの硬貨の枚数は３枚です。これの分け方を考えますが、このとき「分ける枚数　→　誰がもらうか」のように２段階で考えるようにすると、計算を利用できます。

分け方（３枚、０枚、０枚）→３枚もらう人はＡかＢかＣの３通り

分け方（２枚、１枚、０枚）→２枚もらう人はＡかＢかＣの３通り、１枚もらう人は２枚もらった人以外の２通り、０枚の人は残りの１人なので１通りですから、

３通り×２通り×１通り＝６通り

分け方（１枚、１枚、１枚）→Ａ、Ｂ、Ｃのそれぞれが１枚もらうので１通り

３通り＋６通り＋１通り＝１０通り

答え　１０通り

本問は、（Ａ、Ｂ、Ｃ）＝（３枚、０枚、０枚）、（２枚、１枚、０枚）、（２枚、０枚、１枚）、（１枚、２枚、０枚）…のように、してもよいのですが、上記の「分ける枚数　→　誰がもらうか」のように２段階で考えることができるようになると、計算を利用することができます。

また、次のように「○ｌ解法（マル棒解法）」が使えるようになると、値が大きくなってもまちがいにくくなります。

〈別解…「○ｌ解法」の利用〉

３枚の硬貨を○で表し、それに仕切り棒（ｌ）を加えて並べ、誰が何枚もらうかを一気に求めます。

具体的に見ていきましょう。

上の図のように、○とｌを並べることで、誰が何枚もらうかを表すことができます。

つまり、○○○ｌｌの並べ方＝硬貨の分け方となります。

○○○ｌｌの並べ方は、前回見ました→→↑↑↑の並べ方と同じ考え方ですから、数の少ない「ｌ」に着目して、

５通り×４通り÷２＝１０通り

のように計算で答えを求めることができます。

この考え方が使えると、（２）は計算だけで解けます。

（２）○○○○○○ｌｌの並べ方と同じですから、

８通り×７通り÷２＝２８通り

です。

答え　２８通り

本問で見たように、「分け方」の問題は「○ｌ解法」を用いると「区別がつかないものの並べ方（本問の○、ｌや前回の→↑）＝組み合わせ」の計算で答えを求めることができます。

場合の数の学習では、樹形図などの書き出し、かけ算の利用、場合分けが、基本であり最も重要です。

この基本ができるようになれば、今回ご紹介しました「２段階で考える」や「○ｌ解法」などに挑戦して、解法のレベルを１つ上げていけるといいですね。