「第５５７回　共学校の場合の数　３」

前々回から、近年に共学校の中学入試で出された「場合の数」の問題を見てきています。今回取り扱うテーマは、中学入試でもよく出される「道順」の問題です。

【問題】下の図のように直角に交わる道があり、×の道は通行止めです。Ａ地点からＢ地点まで遠回りせずに行く方法は全部で何通りありますか。

（早稲田実業学校中等部　２０２０年　問題１－（3））

【考え方】「道順」の問題の基本的な解き方は、「１・１解法（イチイチ解法）」ともいわれる書き出しです。

はじめに、次のような道でＡからＢまで遠回りせずに行く方法を見ていきましょう。

①Ａからアへの行き方は１通り、Ａからイへの行き方も１通りですから、次のように「１」を書きます。

②アからウへの行き方は１通り、イからウへの行き方も１通りですから、Ａからウへの行き方は

１＋１＝２通り

ありますので、ウの「交差点」に「２」を書きます。

③アからエへの行き方は１通りですから、エの「交差点」に「１」を書きます。

④Ａからウを通ってＢへの行き方は２通り、Ａからエを通ってＢへの行き方は１通りですから、ＡからＢへの行き方は全部で

２通り＋１通り＝３通り

あることが求められます。

このように「１・１解法」は、「ある交差点につながっている１つ前の交差点に書かれた数をたす」ことをくり返していく解き方です。

ですから、本問の場合は次のようになります。

上の図でＣに数を書くとき、「×」を通ることができないことに注意します。

したがって、Ｃに書く数は「４」です。

続けて数を書いていきます。

よって、ＡからＢへの行き方は、

52通り＋３8通り＝90通り

とわかります。

答え　90通り

上記のように、「道順」の問題は「１・１解法」で数を書きこんでいきますが、「通行止め（×）」があると少しまぎらわしくなります。

そこで、次のような工夫をすることで考えやすくすることができます。

〈別解…「余事象」の利用〉

はじめに、「×」がないものとして数を書いていきます。

すべての道が通れるとき、ＡからＢへの行き方は126通りあります。

次に、「必ず×の道を通る」ときの行き方を求めます。

「必ず×の道を通る」ためには、次の図の網目部分しか通ることができません。

上の図のようにＡからＤへの行き方は6通りあり、ＤからＣは1通り、ＣからＢは網目部分の形がＡからＤの場合と同じですから行き方は6通りあります。

ですから、Ａ→Ｄ→Ｃ→Ｂの行き方は、

6通り×1通り×6通り＝36通り

です。

ＡからＢまでのすべての行き方が126通り、そのうち「必ず×の道を通る」ときの行き方が36通りですから、ＡからＢまで×を通らない行き方は

126通り－36通り＝90通り

とわかります。

このように、「すべての場合から、答え以外の場合を引く」という考え方を余事象といいます。

では、もう1問です。

【問題】ＡからＢまでの行き方で、点Ｐを通り、点Ｑを通らない最短の行き方は何通りですか。

（芝浦工業大学附属中学校　２０２０年　問題１－（5））

【考え方】はじめに「点Ｐを通り」という条件から考えると、次の図のように網目部分の辺上を通ってＣに行くことになり、ここまでの道順は2通りです。

次にＣからＢに行く道順は、さきほどの「余事象」を利用すれば、「ＣからＢへのすべての場合－ＣからＱを通ってＢに行く場合」で求められます。

まず、「ＣからＢへのすべての場合」を求めますが、ここでは「1・1解法」ではなく、「組み合わせ（計算）」を使ってみようと思います。

1問目の例と同じ図で考えてみましょう。

ＡからＢまでの3通りの行き方は次の通りです。

上の図を見ると、いずれの行き方も「→」「→」「↑」の3つの矢印を並べかえたもの（→→↑、→↑→、↑→→）になっています。

これは、矢印を入れる箱を3つ用意し、その中に「→」「→」「↑」を入れる場合を考えることと同じです。

数の少ない「↑」に着目すると、「↑」の入れ方が3通りあり、3箱のうちのどれかに「↑」を入れると、「→」「→」は残りの2箱に入れることになりますから、矢印の入れ方は全部で3通りあることがわかります。

同様に、本問のＣからＢへ行く場合も、「→」「→」「↑」「↑」「↑」の5つの矢印を並べかえる問題と考えることができます。

5つの箱を用意して、はじめに「→」「→」の入れ方を考えてみます。

説明のため、箱にア、イ、ウ、エ、オと名前をつけておきます。

1つめの「→」の入れ方はア～オの5通り、2つめの「→」の入れ方は1つめ以外の4通りありますから、全部で

5通り×4通り＝20通り

です。

ところが、1つめの「→」をアに入れ、2つめの「→」をイに入れても、1つめの「→」をイに入れ、2つめの「→」をアに入れても、（→→↑↑↑）と同じ並びになりますから、この入れ方は「2つで1つ」となります。

つまり、半分になるということです。

したがって、「→」「→」「↑」「↑」「↑」の5つの矢印の並べ方は、

5通り×4通り÷2＝10通り

となり、これがＣからＢへのすべての場合です。

ＣからＱを通ってＢに行く場合は、下の図より2通りとわかります。

10通り－2通り＝8通り　…　ＣからＱを通らずにＢに行く場合

ＡからＰを通ってＣへ行く道順は2通りでしかたら、ＡからＰを通り、Ｑを通らないＢまでの行き方は、

2通り×8通り＝16通り

です。

答え　16通り

本問は前問の応用として、「余事象」と「組み合わせ（計算）」を使用しましたが、答えが16通りと少ない問題ですから、「1・1解法」を利用する方が簡単に解くことができるでしょう。

ですが、道順のマス目が多くなったときは、これらの工夫が活きてきます。

「1・1解法」がいつでも正確に使えるようになっているのであれば、今回の1問目を「余事象」と「組み合わせ（計算）」で解くことにもチャレンジしてみてください。