第552回 共学校の規則性 1
「第５５２回 共学校の規則性形 １」
前回まで、近年に共学校の中学入試で出された「立体図形」に関する問題を見てきました。
今回からは「規則性」の問題を取り扱っていきます。
はじめに、数列、数表に関する問題を見ていきましょう。
【問題】
下のように、１から始まって同じ数が４つずつ並んでいます。
１、１、１、１、２、２、２、２、３、３、３、３、４、４、４、４、５、５、５、５、…
この数の並びを次のように、はじめから３つずつの組に分けます。
（１、１、１）、（１、２、２）、（２、２、３）、（３、３、３）、（４、４、４）、（４、５、５）、…
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）（１００、１０１、１０１）は、はじめから数えて何番目の組ですか。
（２）はじめから数えて２０２０番目の組の最初の数はいくつですか。
（３）ある組の３つの数の和が１８０５になるとき、この組ははじめから数えて何番目の組ですか。
（明治大学付属明治中学校 ２０２０年 問題３）
【考え方】
「４つずつ」、「３つずつ」という条件から、最小公倍数の１２個を１周期とする数列だとわかります。
そこで問題の数列の数を１列に１２個ずつ並べ直した表を作ります。
この表から、各周期の「え」の組の数が「□周期×３」となっていて、計算がしやすい組であることに気づけます。
（１）
（１００、１０１、１０１）の続きは、（１０１、１０１、１０２）、（１０２、１０２、１０２）となり、（１０２、１０２、１０２）がこの周期の「え」の組で、（１００、１０１、１０１）は「い」の組です。
１０２÷３＝３４周期
４組×（３４－１）周期＋２組＝１３４番目
答え １３４番目
（２）
２０２０組÷４組＝５０５周期
４で割り切れましたから、２０２０番目の組は５０５周期目の「え」の組とわかります。
５０５周期×３＝１５１５
答え １５１５
（３）
この問題の考え方はいくつかありますが、次のようにすると解きやすいと思います。
１周期目の４つの組について和を調べると、「あ」は３、「い」は５、「う」は７、「え」は９です。
周期が１つ増えると組に含まれる各数は３ずつ大きくなっていますから、和は９ずつ増えていきます。
このことを式に表すと次のようになります。
３＋９×（□周期－１）…「あ」の組の和
５＋９×（□周期－１）…「い」の組の和
７＋９×（□周期－１）…「う」の組の和
９＋９×（□周期－１）…「え」の組の和
式を見ていくと、どの組の和も９の倍数＋☆で表されていますから、１８０５を９で割るとどの組の何番目かを求めることができます。
１８０５÷９＝２００あまり５
和が１８０５となる組は、あまりが５なので「い」の組、□－１＝２００なので２０１周期目とわかります。
４組×（２０１周期－１）＋２組＝８０２番目
答え ８０２番目
本問は数列のうちの「周期算タイプ（くり返し）」の問題でした。
この「周期算タイプ」の問題を整理するときは「カレンダー」のように上から下へ周期ごとに数をならべていくと、計算のしやすい数などいろいろなことに気づきやすくなります。
２問目は数表の典型的な問題の１つです。
【問題】
下の表のように、整数１、２、３、…を順に並べていきます。次の問いに答えなさい。
（１）表の、上から６行目、左から３列目の数は何ですか。
（２）２０２０は上から何行目、左から何列目の数ですか。
（３）表の、上から１９行目、左から６４列目の数は何ですか。
（成城学園中学校 ２０２０年 問題３）
【考え方】
数表は大きく分けて、「三角形タイプ」と「正方形タイプ」があります。
「三角形タイプ」は数を並べていくと三角形の形になるもので「三角数」に着目することが基本です。
「正方形タイプ」は本問のように、数を並べていくと正方形の形になるもので「平方数」を利用して解きます。
（１）
平方数が各行の左から１列目に並んでいます。
上のように「ミニ表」を作ると、求める数が
３６－２＝３４
であることがわかります。
答え ３４
（２）
はじめに、２０２０に近い平方数を求めます。
４０×４０＝１６００
５０×５０＝２５００
ですから、４０代の数について調べます。
４５×４５＝２０２５
４６×４６＝２１１６
（１）と同様にミニ表を作ります。
２０２５－２０２０＝５
？－１＝５
？＝６
答え 上から４５行目 左から６列目
（３）
数を並べていくと「正方形になる」ので、大きい方の値「６４」で正方形を作ります。
上の表からわかるように「６４」の平方数４０９６から？までもどるのは少し大変ですが、１つ内側の「正方形」もかいておくと計算しやすくなります。
１９－１＝１８
３９７０＋１８＝３９８８
答え ３９８８
本問は、数表の典型問題の１つである「正方形タイプ」の数 表に関するものでした。
数表の問題は「ミニ表」を作ると、ミスを防ぎやすくなりますし、見直しもしやすくなります。
今回から、近年の中学入試において共学校で出された「規則性」の問題を見ています。
１回目の今回は規則性の問題の基本である「数列」と「数表」を取り扱いました。
他の単元と同様に「規則性」の問題を解くときも、条件の整理がポイントになっています。
「答えが１だけちがっていた」ということにならないよう、数列や数表の特徴に応じた整理方法がマスターできるといいですね。
前回まで、近年に共学校の中学入試で出された「立体図形」に関する問題を見てきました。
今回からは「規則性」の問題を取り扱っていきます。
はじめに、数列、数表に関する問題を見ていきましょう。
【問題】
下のように、１から始まって同じ数が４つずつ並んでいます。
１、１、１、１、２、２、２、２、３、３、３、３、４、４、４、４、５、５、５、５、…
この数の並びを次のように、はじめから３つずつの組に分けます。
（１、１、１）、（１、２、２）、（２、２、３）、（３、３、３）、（４、４、４）、（４、５、５）、…
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）（１００、１０１、１０１）は、はじめから数えて何番目の組ですか。
（２）はじめから数えて２０２０番目の組の最初の数はいくつですか。
（３）ある組の３つの数の和が１８０５になるとき、この組ははじめから数えて何番目の組ですか。
（明治大学付属明治中学校 ２０２０年 問題３）
【考え方】
「４つずつ」、「３つずつ」という条件から、最小公倍数の１２個を１周期とする数列だとわかります。
そこで問題の数列の数を１列に１２個ずつ並べ直した表を作ります。
この表から、各周期の「え」の組の数が「□周期×３」となっていて、計算がしやすい組であることに気づけます。
（１）
（１００、１０１、１０１）の続きは、（１０１、１０１、１０２）、（１０２、１０２、１０２）となり、（１０２、１０２、１０２）がこの周期の「え」の組で、（１００、１０１、１０１）は「い」の組です。
１０２÷３＝３４周期
４組×（３４－１）周期＋２組＝１３４番目
答え １３４番目
（２）
２０２０組÷４組＝５０５周期
４で割り切れましたから、２０２０番目の組は５０５周期目の「え」の組とわかります。
５０５周期×３＝１５１５
答え １５１５
（３）
この問題の考え方はいくつかありますが、次のようにすると解きやすいと思います。
１周期目の４つの組について和を調べると、「あ」は３、「い」は５、「う」は７、「え」は９です。
周期が１つ増えると組に含まれる各数は３ずつ大きくなっていますから、和は９ずつ増えていきます。
このことを式に表すと次のようになります。
３＋９×（□周期－１）…「あ」の組の和
５＋９×（□周期－１）…「い」の組の和
７＋９×（□周期－１）…「う」の組の和
９＋９×（□周期－１）…「え」の組の和
式を見ていくと、どの組の和も９の倍数＋☆で表されていますから、１８０５を９で割るとどの組の何番目かを求めることができます。
１８０５÷９＝２００あまり５
和が１８０５となる組は、あまりが５なので「い」の組、□－１＝２００なので２０１周期目とわかります。
４組×（２０１周期－１）＋２組＝８０２番目
答え ８０２番目
本問は数列のうちの「周期算タイプ（くり返し）」の問題でした。
この「周期算タイプ」の問題を整理するときは「カレンダー」のように上から下へ周期ごとに数をならべていくと、計算のしやすい数などいろいろなことに気づきやすくなります。
２問目は数表の典型的な問題の１つです。
【問題】
下の表のように、整数１、２、３、…を順に並べていきます。次の問いに答えなさい。
（１）表の、上から６行目、左から３列目の数は何ですか。
（２）２０２０は上から何行目、左から何列目の数ですか。
（３）表の、上から１９行目、左から６４列目の数は何ですか。
（成城学園中学校 ２０２０年 問題３）
【考え方】
数表は大きく分けて、「三角形タイプ」と「正方形タイプ」があります。
「三角形タイプ」は数を並べていくと三角形の形になるもので「三角数」に着目することが基本です。
「正方形タイプ」は本問のように、数を並べていくと正方形の形になるもので「平方数」を利用して解きます。
（１）
平方数が各行の左から１列目に並んでいます。
上のように「ミニ表」を作ると、求める数が
３６－２＝３４
であることがわかります。
答え ３４
（２）
はじめに、２０２０に近い平方数を求めます。
４０×４０＝１６００
５０×５０＝２５００
ですから、４０代の数について調べます。
４５×４５＝２０２５
４６×４６＝２１１６
（１）と同様にミニ表を作ります。
２０２５－２０２０＝５
？－１＝５
？＝６
答え 上から４５行目 左から６列目
（３）
数を並べていくと「正方形になる」ので、大きい方の値「６４」で正方形を作ります。
上の表からわかるように「６４」の平方数４０９６から？までもどるのは少し大変ですが、１つ内側の「正方形」もかいておくと計算しやすくなります。
１９－１＝１８
３９７０＋１８＝３９８８
答え ３９８８
本問は、数表の典型問題の１つである「正方形タイプ」の数 表に関するものでした。
数表の問題は「ミニ表」を作ると、ミスを防ぎやすくなりますし、見直しもしやすくなります。
今回から、近年の中学入試において共学校で出された「規則性」の問題を見ています。
１回目の今回は規則性の問題の基本である「数列」と「数表」を取り扱いました。
他の単元と同様に「規則性」の問題を解くときも、条件の整理がポイントになっています。
「答えが１だけちがっていた」ということにならないよう、数列や数表の特徴に応じた整理方法がマスターできるといいですね。
