「第５４９回　共学校の立体図形 ３」


これまで、近年に共学校の中学入試で出された「立体図形」の中から、体積や表面積を求める問題、見取り図や投影図に関する問題を見てきました。


３回目となる今回は、立体の切断に関する問題を取り扱います。


１問目は立方体の切断です。




【問題】
図のような１辺８ｃｍの立方体があります。この立方体を３つの点Ｂ、Ｇ、Ｄを通る平面で切り、２つの立体に分けました。このとき、次の問いに答えなさい。


（１）２つの立体の表面積の差を求めなさい。

（２）体積の大きい方の立体を、辺ＡＢ、ＢＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＨＤ、ＤＡのそれぞれの真ん中の点（図の黒丸）を通る平面で切ります。このときできる立体のうち、点Ｂがある方の立体の体積を求めなさい。ただし、三角すいの体積は、（底面積）×（高さ）÷３で求めることができます。

(帝京大学中学校　２０２０年　問題３）








【考え方】
（１）
それぞれの立体の表面積を計算してからその差を求めてもよいのですが、見取り図が与えられていますので少し工夫をしてみましょう。


図形式で考えると次のようになります。



上の図形式からわかるように、２つの立体の表面積の差は１辺８ｃｍの正方形３つ分です。


８ｃｍ×８ｃｍ×３面＝１９２ｃｍ２

答え　１９２ｃｍ２


（２）
問題図に新たな切断面をかき込んでもかまいませんし、切断が苦手なようでしたら面ＢＧＤで切られる前の図に、新しい切断面をかいてみると考えやすくなると思います。


ここでは、後者の図から考えることにします。



立方体の辺ＡＢ、ＢＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＨＤ、ＤＡのそれぞれの真ん中の点を通る平面は上の図のように正六角形です。


この正六角形は次の図のように立方体の「中心」を通っていますので、立方体の体積を２等分します。



そこで、求める立体を図形式で表すと次のようになることがわかります。



三角すいＣ－ＢＧＤは体積公式から求めてもかまいませんが、この切り方でできる三角すいの体積が立方体の１/６であることを覚えておくと計算が楽になります。


８ｃｍ×８ｃｍ×８ｃｍ×（１－１/６－１/２）＝８ｃｍ×８ｃｍ×８ｃｍ×１/３＝５１２/３ｃｍ３

答え　５１２/３ｃｍ３






本問は切断される立体が立方体であること、２つの切断面が交わらないことから、立体切断の基本が身についているか確認しやすい問題です。


途中でも触れましたように、２回切断が苦手な場合は見取り図を２つかき、どのような立体になるかを先にはっきりさせておく（イメージしやすくする）と考えやすくなると思います。








では、もう１問見ていきます。




【問題】
体積が２４ｃｍ３の図のような立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。対角線ＢＨとＤＦの交点をＯとします。次の問いに答えなさい。



（１）立体ＣＢＧＤの体積を求めなさい。

（２）立体ＡＣＦＨの体積を求めなさい。

（３）立体ＯＢＧＤの体積を求めなさい。

(昭和学院秀英中学校　２０２０年　問題３）










【考え方】
（１）
前問と同じ切り方でできる三角すいの体積です。


立方体と底面積、高さを比べると、

底面積の比　正方形ＡＢＣＤ：直角二等辺三角形ＢＣＤ＝２：１
高さの比　ＣＧ：ＣＧ＝１：１
　↓
体積比　２×１：１×１÷３＝６：１

より、

２４ｃｍ３×１/６＝４ｃｍ３

と求められます。

答え　４ｃｍ３


（２）
見取り図をかくと、求める立体ＡＣＦＨは立方体から（１）と体積が同じ立体を４つ取り除いたものとわかります。



２４ｃｍ３×（１－１/６×４）＝２４ｃｍ３×１/３＝８ｃｍ３

答え　８ｃｍ３


（３）
（２）が誘導になっています。


下の見取り図のように、求める立体は（２）の立体の向きを変えたものの一部です。



問題文の「対角線ＢＨとＤＦの交点をＯ」というヒントから、向きを変えた（２）の立体を長方形ＢＦＨＤで切断してみると次のようになります。



上の図より、求める立体を、（２）の立体を長方形ＢＦＨＤで１/２に切断した立体と底面積、高さについて比べてみると、

底面積の比　三角形ＢＯＤ（長方形ＢＦＨＤの１/４）：長方形ＢＦＨＤの１/２＝１：２
高さの比　どちらも対角線ＥＧの長さの１/２　→　１：１
　↓
体積比　１×１÷３：２×１÷３＝１：２

です。

８ｃｍ３×１/２×１/２＝２ｃｍ３

答え　２ｃｍ３


本問の（３）は、問題文中のヒント「対角線ＢＨとＤＦの交点をＯ」を２回切断と結びつける点が難しいところです。


ですが、普段の家庭学習から正確な見取り図（この問題では三角形ＢＯＤと長方形ＢＦＨＤが同じ平面上にあるように作図）をかくことや、図が重なって立体がわかりにくい（イメージしにくい）ときには見取り図を２つかくようにしていれば気づけたのではないかと思います。






今回は近年に共学校の中学入試で出された立体の切断の問題の中から、立方体の切断に関する問題を取り扱いました。


切断の問題を解くためには、切断の３原則（作図）、切断された立体の表面積や体積の求め方をマスターすることが必要です。


自分で見取り図をかく練習や、立方体の切断パターンはそれらを身につけていくための基礎力となります。





切断の問題が苦手なときは、これらの基礎ができているか、まずは確認してみましょう。