「第525回　女子中の場合の数 1」


これまで、2020年度に女子中で出された入試問題の「文章題」、「比と割合」、「速さ」、「平面図形」、「立体図形」、「数の性質・規則性」について見てきました。


今回からは、最後の単元となる「場合の数」について考えていこうと思います。


まずは、場合の数の基本となる「場合分け」の問題を取り扱っていきます。




【問題】
洋室と和室の2部屋があります。Aさん、Bさん、Cさんの3人がこの2部屋に入る方法は何通りあるか求めなさい。ただし、どちらの部屋にも少なくとも1人は入るものとします。
(晃華学園中学校　2020年　問題1-(5)）








【考え方】
はじめに洋室と和室に入る「人数」について場合分けをし、その次にそれを誰にするかを決めます。



(洋室、和室)＝(2人、1人)のとき　

人数の少ない和室の入り方に着目すると、Aさん、Bさん、Cさんのいずれか1人が入りますので3通りあります。


そのいずれの場合も残りの2人が自動的に洋室に入ることになりますので洋室への入り方は1通りとなり、全部で

3通り×1通り＝3通り

あります。






(洋室、和室)＝(1人、2人)の場合も同様ですから、3通りです。


3通り＋3通り＝6通り　

答え　6通り　






本問を「人数→人名」の順で考えたように、「場合分け」を利用するときは、2段階に分けると考えやすくなります。




では、2問目です。




【問題】
りんご、みかん、ももの3種類のくだものが3個ずつあります。この中から好きなものを4個選ぶとき、何通りの選び方がありますか。ただし、選ばないくだものがあってもよいものとします。
(横浜雙葉中学校　2020年　問題1-(2)）








【考え方】
本問も、はじめに果物の「個数」について場合分けをし、そのあとでどの果物にするかの2段階で考えていきましょう。


(3個、1個、0個)の場合　

前問と同じように、樹形図をかくと次のようになります。



このことは、「りんごさんは3個、1個、0個のどれかを選べるから3通り、みかんさんは残った2つの個数から選べるから2通り、ももさんは最後に残った1つの個数になるから1通り」のように擬人化すると、

3通り×2通り×1通り＝6通り

のような計算でも求められることがわかります。



残りの場合についても、樹形図と計算方法の2つの解き方をみていきます。



(2個、2個、0個)の場合



「2個」の果物が2種類、「0個」の果物が1種類ですから、種類が少ない「0個」の果物に着目すると、りんご、みかん、もものいずれかを0個にする3通りがあり、そのそれぞれについて「2個」の果物が1通りあります。

3通り×1通り＝3通り　



(2個、1個、1個)の場合　



「2個」の果物が1種類、「1個」の果物が2種類ですから、(2個、2個、0個)の場合と同じように、種類が少ない「2個」の果物に着目すると、りんご、みかん、もものいずれかを2個にする3通りがあり、そのそれぞれについて「1個」の果物が1通りあります。

3通り×1通り＝3通り


6通り＋3通り＋3通り＝12通り　

答え　12通り　






前問で「人数→人名」の順に考えたのと同様に、本問も「個数→果物名」の順に考えていくと、抜けや漏れ、重複が防いで解くことができます。




続けて、3問目を見ていきましょう。




【問題】
大中小3つのさいころを投げたとき、出た目の和が15になる場合は、全部で何通りありますか。
(東洋英和女学院中学部　2020年　問題2-(5)　問題文一部変更）








【考え方】
この問題も、これまでの2問と同じように、「目の数→さいころ名」の順に考えていくこともできますが、今回は、さいころの問題を解くときに便利な「六六表」を利用してみようと思います。

（六六表）




大＋中＝12の場合

「六六表」より大と中のさいころの出た目の和が12になるのは、(大、中)＝(6、6)の1通りで、そのときに小のさいころの目が3であれば、3つのさいころの目の和が15になります。

1通り×1通り＝1通り　



大＋中＝11の場合

「六六表」より大と中のさいころの出た目の和が11になるのは、(大、中)＝(6、5)、(5、6)の2通りで、そのときに小のさいころの目が4であれば、3つのさいころの目の和が15になります。

2通り×1通り＝2通り　


以下も同様に見ていきます。


大＋中＝10の場合は3通り、そのときの小のさいころの目が5の1通りですから、

3通り×1通り＝3通り

です。



大＋中＝9の場合は4通り、そのときの小のさいころの目が6の1通りですから、

4通り×1通り＝4通り

です。　



1通り＋2通り＋3通り＋4通り＝10通り　

答え　10通り




本問は「3つのさいころ」についての問題でした。


さいころの問題は、個数が2個であれば上記のように「六六表」を利用することができますので、3個のさいころの問題のときは、さいころを2個と1個に分けると考えやすいでしょう。






今回は、2020年度に女子中の入試で出された「場合の数」のうち、問題を解くときの基本となる「場合分け」について考えました。


「場合の数」を塾で習う場合、はじめは「樹形図」などの書き出しを利用して解き、その次に「順列」や「組み合わせ」などの計算方法、そして「場合分け」、最後に「特別な考え方」の4つの段階になることが多いと思います。


場合の数が苦手なときは、この4つの段階のどの部分の理解や定着に課題があるかを見つけて、その段階の問題に取り組むことで、正解を増 やしていくことができると思います。