「第475回　中学入試で出題される「規則性」 1」


前回まで、中学入試で出された「数の性質」に関する問題を見てきましたが、今回からは「規則性」に関する問題について考えていこうと思います。


「規則性」には、主に「数の規則性」と「図形の規則性」をテーマにした問題がありますので、まずは「数の規則性」をご紹介していきます。




2019年度　筑波大学附属中学校　（四谷大塚　80％偏差値　男子66・女子69）より　

問題5　
太郞さんと花子さんが、授業で学んだ内容について話し合いをしています。次の文章を読んで下の問いに答えなさい。

太郎：次のような並べ方に従って数を並べたよ。いろいろな決まりがありそうだね。



花子：1段目、2段目、4段目は、①すべて奇数が並んでいるね。

太郎：2段目以降の左から2番目の数は、1、2、3、4、…と並んでいるよ。

花子：本当だ。②左から3番目の数はどうなっているのかな。


(1)　下線部①について、4段目の次にすべて奇数が並ぶのは何段目ですか。

(2)　下線部②について、3段目以降の左から3番目の数について考えます。100段目の左から3番目の数を求めなさい。








【解答例】
(1)
6段目、7段目、…と数を並べていきます。


このとき、「並べ方」のきまりに従って数を並べてもよいのですが、数がどんどん大きくなって少し大変です。


そこで、奇数は2で割ると1余る数、偶数は2で割りきれる数であることを利用して、太郞さんが並べた数を「2で割った余り」に書き換えておくと計算が楽になります。



上のように、7段目で「1」と「0」が交互に並びますから、8段目はすべて「1（＝奇数）」になることがわかります。

答え　8段目





(2)
(1)のときと同じように太郞さんが並べた数に書き加えていくと、左から3番目の数は1、3、6、10、15、…となっていることがわかります。


ここでその理由を少し考えてみます。花子さんが気づいたように左から2番目の数は、左から1番目の数(＝1)を加えていくので、1、2、3、4、…のように1ずつ増えていきます。


その左から2番目の数を加えてできるのが左から3番目の数ですから、左から3番目の数は、1＋2＝3、3＋3＝6、6＋4＝10、…となります。(赤字：左から2番目の数)



左から3番目の数を求める計算で、上から4段目の数のときが「＋2」、上から5段目の数のときが「＋3」ですから、上から100段目の数のときは「＋98」です。

1＋2＋3＋4＋…＋98＝(1＋98)×98÷2＝4851　 　






本問は「書き出し」を利用すると2問とも正解することができますから、「数の規則性」の基本レベルの問題といえるでしょう。


ですから、正確に「書き出し」ができるように、練習をしておくことはとても大切です。


しかし、問題の中には「書き出し」きれないものもありますから、「なぜそのような規則になるのか」という理由も合わせて学習できると、「規則性」での得点を伸ばすことができるので理想的です。


というのも、本問の発展として次のような問題を出すことができるからです。




【問題】
(上記の問題(1)の続きとして)
1段目から50段目までの50段のうち、すべて奇数が並ぶ段は全部で何段ありますか。








【解答例】
1段目から8段目までを「0」と「1」で表すと左下のようになります。





左上の図のように、1段目から4段目までの「0」と「1」を囲んだ三角形（赤色）が、5段目から8段目にちょうど2つ並び、8段目が「1」だけになることがわかります。


同じようにして、右上の図のように、1段目から8段目までの「0」と「1」を囲んだ三角形（青色）が、9段目から16段目にちょうど2つ並び、16段目が「1」だけになることもわかります。


同様にして1段目から16段目までの「0」と「1」を囲んだ三角形（緑色）がちょうど2つ並ぶのは32段目ですから、1段目から50段目までの50段のうち、すべて奇数が並ぶ段は、1段目、2段目、4段目、8段目、16段目、32段目の全部で6段あることがわかります。






このように、「規則性」の問題には、「書き出しで正解できる問題」と「規則の理由がわからないと正解しにくい問題」の2つがあります。


大問形式の場合、前半の小問は書き出しで解くことができ、後半の小問はそれでは難しいといった構成になりがちですので、「規則性」が苦手であるならば、まずは「書き出し」で解ける問題を選んで正解できるようになりましょう。


その後、解説を読んで理由を学び、1問でも正解できる問題を増やすことができればいいなと思います。