「第385回　2018年度中学入試の数の性質 2」


前回から、2018年度の中学入試で出された「数の性質」の問題をご紹介しています。


前回は「数の性質」のうち、
約数や倍数などに関する問題として
女子学院中学校と早稲田実業学校中等部の入試問題を見ました。


今回は「数の性質」から、数の規則性に関する問題をご紹介します。


出題校は、首都圏の最難関校、筑波大学附属駒場中です。


では、さっそく問題を見ていきましょう。




2018年度　筑波大学附属駒場中　入試問題　算数より　

問題1　縦5段、横50列の250個のマス目のついた表があり、1列目のマス目には1段目から順に1、2、3、4、5が書いてあります。2列目以降のマス目に、次のように2つの数をたしてできる1桁の数を書いていきます。ただし、たしてできる数が2桁になったときは、一の位だけを書くことにします。　

2列目　1段目には、1列目の5段目の数に、2をたしてできる数を書きます。
2段目から5段目には、すぐ上の段にある数に1をたしてできる数を書きます。
3列目　1段目には、2列目の5段目の数に、3をたしてできる数を書きます。
2段目から5段目には、すぐ上の段にある数に1をたしてできる数を書きます。
4列目　1段目には、3列目の5段目の数に、4をたしてできる数を書きます。
2段目から5段目には、すぐ上の段にある数に1をたしてできる数を書きます。
………
50列目 1段目には、49列目の5段目の数に、50をたしてできる数を書きます。
2段目から5段目には、すぐ上の段にある数に1をたしてできる数を書きます。

下の表はこの規則に従って、4列目まで数を書いたものです。



すべてのマス目に数を書いた表について、次の問いに答えなさい。

(1)　10列目の5段目のマス目に書かれた数を答えなさい。

(2)　1段目の50個のマス目のうち、1が書かれているものは何個ありますか。

(3)　表にある250個のマス目のうち、0が書かれているものは何個ありますか。

(4)　それぞれの段で、マス目に書かれた50個の数の合計を求めます。求めた合計が最も大きいのは何段目ですか。また、その合計も答えなさい。








規則性の問題のポイントは、
その問題において「決められた規則｣を正確に理解することです。


そのために、与えられた「例示」をよく見ることが大切です。


ただし、作問者も「親切（?!）」ではありませんから、
「例示」は規則性をギリギリ理解できる範囲でしか与えてくれません。


このことは、逆にいうと
「例示を増やす」ことで規則性がより明確になってくる
ということです。


また、「50列」や「50個」のように
「大きな値」も出てきますから、「繰り返し」があることも予測できます。


そこで「繰り返し」が見つかるまで、
5列目以降にも数を書いていくことにします。




10列目の1段目の数は、
9列目の5段目の数に10を加えてできる数の一の位の数ですから、
「＋10」のうちの「＋0」だけを考えればOKです。


このようにして表に数を書いていくと、
20列目の5段目の数「0」に加える数が「＋1」となり、
21列目が1列目と同じになることに気づけます。


これでこの問題では「1列目から20列目までの繰り返し」だとわかります。


それでは、この表を用いて解答を作成していきましょう。


(1)　
表より　5　


(2)　
1列目から20列目までに、
1段目の「1」は1列目、5列目、6列目、10列目にあります。

50列÷20列＝2周期あまり10列　ですから、
4個×2周期＋4個＝12個　が答えです。


(3)　
1列目から20列目までに「0」は、
2列目、9列目、11列目、13列目、14列目、15列目、16列目、17列目、18列目、20列目にあります。

ですから、10個×2周期＋2個＝22個　が答えです。


(4)　
20列分を調べ終えていますから、各段の数の合計を求めればOKです。


それが少し面倒だなと感じたら、
工夫をして計算を楽にする方法がないかを考えてみましょう。

「9」の下の段が「0」になることに着目します。


1段目の合計は順にたしていくと210とわかります。


2段目の合計は1段目の合計よりも　1×50＝50　大きくなるはずですが、
1段目に「9」が4つありますから、
2段目の合計は1段目の合計よりも　1×46－9×4＝10　大きい220です。


同じように計算していくと、

3段目の合計は2段目の合計よりも　1×50－9×0＝50大きい270、
4段目の合計は3段目の合計よりも　1×40－9×10　→　50小さい220、
5段目の合計は4段目の合計よりも　1×42－9×8　→　30小さい190、

とわかりますので、答えは　3段目、270　です。






2018年度の筑波大学附属駒場中の問題1は、「繰り返しのある規則性」がテーマでした。


「繰り返し」がある問題は、本問のように1周期分を書き出しておくと、
ほぼすべての問いに正解することが可能です。


家庭学習をしているとき、
問題文中に「50列目」のような大きな値があるときは、
「規則があるかもしれないな…」と予測しながら問題に取り組んでみて、
最難関中でだされる「規則性」の問題でも正解できるようになれるといいですね。