第167回　2014年度入試　～4～




灘中　2014年度入試　算数　1日目（その2）




2014年度入試速報の第4回は灘中（その２）です。


「今年は1日目が比較的取り組みやすい問題でした」と前回書いたのですが、
しかしそこは灘中です。しっかり「難問」も出題されていました。


その中でも特に難しかったと思われる問題は、大問5-②と大問11　の2問です。


そこで今回は大問11をご紹介します。


確かに難問だったのですが、
灘中の過去問演習を解いていれば
「もしかしたら、あの方法が使えるかも…？」
と気づけたお子さんもいたのではないかと思います。








2014年　灘中　第1日　大問11（1日目の最終問題です。）


11　右の図のように、長方形の板から大小2つの直角二等辺三角形の部分を切り取った板片があります。ただし、板の厚さは考えないものとします。この板片を直線アのまわりに1回転させたとき、板片が通過する部分の体積は□cm3です。









もし、直角二等辺三角形を切りとらなければ円柱ができますので、
方針は「円柱の体積－切り取られた立体の体積」です。


しかし、
切り取られる直角二等辺三角形が「回転の軸から離れている」ため、
計算がとても大変そうですね。


こんなときに役立つのが、「回転体の体積比」でした。






これらと相似な図形の体積比を利用すると、




となるのでこの図から、

アの体積＝1　とすると、
ウの体積＝4×4×4＝64
イの体積＝ウ－ア＝63
エの体積＝7×7×7－（64＋63）＝216

オの体積＝5×5×5＝125
カの体積＝8×8×8－125＝387
キの体積＝アの体積1×3×3×64－387＝189

求める部分の体積＝アの体積1×3×4×64－（216＋189）＝363

となり、アの体積の363倍ですから、
1cm×1cm×3.14×1cm×1/3×363＝379.94cm3が答えとわかります。




少し大変な計算でしたが、




の応用問題だということは気づけたと思いますので、
「方針立て」で迷うことはなかったと思います。




ところで、上のような問題演習をしたときに、




のような入試問題についても練習したかもしれません。


その解き方は「センターライン解法」の応用でした。


「センターライン解法」は、
円の面積の公式についての説明や、
次の図のような「円が通ったあとにできる図形の面積」の問題演習時に
学んだことがあると思います。




【問題】
直径1cmの円があり、その円の中心Pが図の曲線（合田な半円3つを組み合わせた図形）上を通ったあとにできる図形の面積を求めなさい。


【センターライン解法による解き方】
2cm×π×1/2×3＝3×π…曲線の長さ（センターラインの長さ）
1/2cm×1/2cm×π＝1/4×π…始点と終点の半円の面積の和
1cm×（3×π）＝3×π…移動する円の直径×センターライン＝通った面積
（1/4＋3）×π＝3.25×3.14＝10.205cm2




これを習ったときの説明と同じような説明で上記の「円の回転移動」も、
「円が回転してできる立体の体積 という計算方法があることを習ったことでしょう。


（1cm×1cm×π）×（4cm×π）＝39.4384cm3


この方法が使えることに気づいたお子さんは、
この大問11でも時間をあまり使わずにすみます。




長方形の面積×長方形の重心の移動距離
－（直角二等辺三角形（大）の面積×直角二等辺三角形（大）の重心の移動距離
＋直角二等辺三角形（小）の面積×直角二等辺三角形（小）の重心の移動距離）

という式で計算します。


長方形…（4cm×8cm）×（8cm×π）＝256×π
直角二等辺三角形（大）…（6cm×3cm×1/2）×（8cm×π）＝72×π
直角二等辺三角形（小）…（3cm×3cm×1/2）×（14cm×π）＝63×π
（256－72－63）×3.14＝121×3.14＝379.94cm3


この「センターライン解法」を立体図形で利用する問題は
灘中以外にもいくつかの学校でこれまでに出題されていますが、
平面図形ほど多くはありません。


今回初めてこの解法にふれた新6年生のお子さんは、
通常の解き方をマスタース終えた後で、
「円が通ったあとにできる図形の面積」を
センターライン解法でチャレンジしてみましょう。
（※「どんな問題でもこの解法が使える」というわけでないところも、
大切な学習ポイントです。）


1つのテーマに対していくつもの解き方を持っていると、
今日ご紹介したような大変な問題でも、
より短時間に正確な答えをだすことができます。