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第719回 男子中の入試問題 立体図形 3
「第７１９回 男子中の入試問題 立体図形 ３」
これまで、近年に男子中の入試で出された「立体図形」の中から、「求積」と「回転体」の問題を見てきました。
今回は「立体図形の見方」について考えます。
１問目は「積み木の見方」がテーマの問題です。
【問題】１辺が１㎝の立方体をいくつか積み上げて作った立体があります。この立体を図１のように真上、正面、真横から見ると、それぞれ図２、図３、図４のようになりました。この立体の体積が最も大きくなるときの体積を求めなさい。
（明治大学付属中野中学校 ２０２４年 問題２－（６））
【考え方】
積み上げられた立方体の個数は、真上から見た図を利用して求められます。
はじめに、真上から見た図に正面、真横から見える立方体の個数を書き加えます。
例えば、次の（ア）の列は正面から見たときに３個の立方体が見えるので、立体の体積が最大になるのは立方体を次のように積み上げた場合です。
次に、積み上げられた立方体のうち、真横から見える個数と一致しない立方体を取り除きます。
他の列も同様に考えると、積み上げられた立方体の個数を次のように表せます。
よって、積み上げられた立方体は全部で
３＋２＋３＋２＋２＋２＋１＋１＋１＋３＋２＋４＝２６（個）
です。
１㎝×１㎝×１㎝×２６個＝２６㎤
答え ２６㎤
本問は、真上から見た図を利用して「積み木」の個数を求める方法を確認できる問題です。
２問目は大問形式の「積み木の見方」の問題です。
【問題】同じ大きさの立方体の積み木がたくさんあります。図１はこの積み木を積んで作った立体Ａを真正面から見た図で、反対側から見ても同じ図です。図２は立体Ａを真上から見た図です。
（１） 立体Ａに使われている積み木の個数は何個ですか。
（２） 立体Ａに積み木をいくつか追加して立方体を作ります。１辺の長さを最も短くするには追加する積み木は何個必要ですか。
（３） 立体Ａをくずし、積み木をいくつか追加して、それらすべてを積んで立方体を１つ作ります。１辺の長さを最も短くするには追加する積み木は何個必要ですか。
（成城中学校 ２０２４年 問題５）
【考え方】
（１）
投影図から見取り図を考えます。
次のように、真上から見た図と真正面の反対側から見た図を組み合わせると、積み木が１番奥に１個、奥から２番目に９個あることがわかります。
真正面から見ても同じに見える積み方なので、全部で
（１個＋９個）×２＝２０個
の積み木が使われています。
答え ２０個
（２）
１辺の長さが最も短い立方体は、１辺に４個の積み木が並ぶ立方体です。
４個×４個×４個－２０個＝４４個
答え ４４個
（３）
立方体の１辺に並ぶ積み木の個数を□個とすると、立方体を作るのに必要な積み木の個数は（□×□×□）個です。
よって、２０以上で最も小さい □×□×□ は
３×３×３＝２７
ですから、追加する積み木の個数は
２７個－２０個＝７個
です。
答え ７個
本問は、投影図から見取り図をかくときの考え方を確認できる問題です。
投影図の実線に着目して、見取り図を考えましょう。
最後は「くり抜き」の問題です。
【問題】１辺６㎝の立方体があります。次の立体の体積と表面積をそれぞれ求めなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
（１） この立方体を、図のように手前の面と横の面からそれぞれ反対の面まで１辺２㎝の正方形でまっすぐくりぬいたとき、残った部分の立体。
（２） （１）の立体を、図のように上の面から反対の面まで半径１㎝の円でまっすぐくりぬいたとき、残った部分の立体。
（立教新座中学校 ２０２４年 問題５ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
くり抜かれる立体（立体Ｐとします）は、次のように１辺の長さが２㎝の正方形が５つ集まった十二角形を底面（赤色部分）とする、高さが２㎝の十二角柱です。
６㎝×６㎝×６㎝＝２１６㎤ … 立方体の体積
２㎝×２㎝×５×２㎝＝４０㎤ … 立体Ｐの体積
２１６㎤－４０㎤＝１７６㎤ … 立体の体積
表面積は次のような図形式で考えることができます。
６㎝×６㎝×６面＝２１６㎠ … 立方体の表面積
２㎝×２㎝×４個＝１６㎠ … 「穴」の面積
２㎝×２㎝×５個×２面＝４０㎠ … 立体Ｐの底面積の和
２㎝×２㎝×８個＝３２㎠ … 「穴」以外の立体Ｐの側面積
よって、立体の表面積は
２１６㎠－１６㎠＋４０㎠＋３２㎠＝２７２㎠
です。
答え 体積 １７６㎤、 表面積 ２７２㎠
※ 立体Ｐの見取り図の代わりに、次のような投影図をかいて考えることもできます。
（２）くり抜かれる立体（立体Ｑとします）は、次のように立体Ｐと底面の半径が１㎝、高さが６㎝の円柱が重なった立体です。
立体Ｐと円柱の重なりは、半径が１㎝で中心角の大きさが２７０度のおうぎ形を底面とする、高さが２㎝の立体です。
４０㎤＋１㎝×１㎝×３.１４×６㎝－１㎝×１㎝×３.１４×２７０度/３６０度×２㎝＝５４.１３㎤ … 立体Ｑの体積
２１６㎤－５４.１３㎤＝１６１.８７㎤ … 立体の体積
投影図を利用して表面積を求めます。
６㎝×６㎝×６面＝２１６㎠ … 立方体の表面積
２㎝×２㎝×４個＋１㎝×１㎝×３.１４×２個＝２２.２８㎠ … 「穴」の面積
（２㎝×２㎝×５個－１㎝×１㎝×３.１４×２７０度/３６０度）×２面＝３５.２９㎠ … 立体Ｑの赤色部分の面積の和
１㎝×２×３.１４×（６㎝－２㎝）＝２５.１２㎠ … 曲面の面積（★）
１㎝×２×３.１４×９０度/３６０度×２㎝＝３.１４㎠ … 曲面の面積（☆）
２㎝×２㎝×６個＋２㎝×１㎝×２個＝２８㎠ … 立体Ｑの水色部分の面積の和
よって、表面積は
２１６㎠－２２.２８㎠＋３５.２９㎠＋２５.１２㎠＋３.１４㎠＋２８㎠＝２８５.２７㎠
です。
答え 体積 １６１.８７㎤、 表面積 ２８５.２７㎠
本問は、くり抜かれた立体の体積や表面積の求め方を確認できる問題です。
（１）を正解できないときは、くり抜くことによって増える面積と減る面積を見直しましょう。
（２）を正解できないときは、くり抜く立体の見取り図または投影図を見直します。
今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「立体図形の見方」の問題をご紹介しました。
「積み木の問題」が苦手なときは、実物を積み上げて立体を作り、見取り図や投影図をかく練習をしてみましょう。
また、３方向からくり抜く問題は難度の高い問題ですから、まずは２方向からくり抜く問題を通して、図のかき方や増減部分の見つけ方の練習をしてみるとよいと思います。
