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第697回 男子中の入試問題 数の性質 2
「第６９７回 男子中の入試問題 数の性質 ２」
前回から、近年の男子中の入試問題を取り扱っています。
今回は、前回の続きとして「約数と倍数」の大問形式の問題を見ていきます。
１問目は「倍数」の問題です。
【問題】３の倍数と７の倍数を次のように並べました。
３、６、７、９、１２、１４、１５、１８、２１、２４、…
次の太郎さんと花子さんの会話を読んで、（ ）にあてはまる数を求めなさい。
太郎：初めから数えて２０番目の数は（ ア ）だね。
花子：そうね。そして、７５は初めから数えて（ イ ）番目の数ね。どちらも、このまま数を書き続けていけばわかるわね。
太郎：そうだね。でも、３と７の公倍数の現れ方に注目すると、もっと大きな数字のことも簡単にわかりそうだよ。例えば、１００１は初めから数えて（ ウ ）番目の数だとわかるね。
花子：今度は、３の倍数、５の倍数、７の倍数を次のように並べてみたよ。
３、５、６、７、９、１０、１２、１４、１５、１８、…
この数の並びについても、同じように考えるといいのかな。
太郎：そうだね。この数の並びだと、３と５と７の最小公倍数は（ エ ）だから、２０００は初めから数えて（ オ ）番目の数字だとわかるね。
（成城中学校 ２０２４年 問題３ 問題文一部変更）
【考え方】
太郎さんの「３と７の公倍数の現れ方」という部分に着目します。
１から連続する整数を３と７の最初公倍数の２１個ごとに区切ると、３の倍数と７の倍数の現れ方（○）が同じになっています。
このように、１から２１までの２１個を１セットとすると、その中に３の倍数が７個、７の倍数が３個、最小公倍数である２１の倍数が１個含まれ、全部で
３個＋７個－１個＝９個
の数があります。
２０番目÷９個＝２セットあまり２番目
ですから、２０番目の数は３セット目の２番目の数です。
１セット目の２番目の数が６なので、アは
２１×２＋６＝４８
です。
７５÷２１＝３セットあまり１２
なので、７５は上の表の「１２」の３セット下にある数です。
「１２」は１セット目の５番目の数なので、イは
５番目＋９個×３セット＝３２番目
です。
ウも同様に考えることができます。
１００１÷２１＝４７セットあまり１４
１４は１セット目の６番目の数ですから、ウは
６番目＋９個×４７セット＝４２９番目
です。
３と５と７はどれも素数なので、最小公倍数は
３×５×７＝１０５ … エ
です。
１から１０５までの１セットについて調べると
１０５÷３＝３５（個） … ３の倍数の個数
１０５÷５＝２１（個） … ５の倍数の個数
１０５÷７＝１５（個） … ７の倍数の個数
１０５÷１５＝７（個） … ３と５の公倍数の個数
１０５÷２１＝５（個） … ３と７の公倍数の個数
１０５÷３５＝３（個） … ５と７の公倍数の個数
１０５÷１０５＝１（個） … ３と５と７の公倍数の個数
ですから、１セットの中に
（３５個＋２１個＋１５個）－（７個＋５個＋３個）＋１個＝５７個
の数があります。
２０００÷１０５＝１９セットあまり５
なので、２０００は上の表での「５」の１９セット下にある数です。
「５」は１セット目の２番目の数なので、オは
２番目＋５７個×１９セット＝１０８５番目
です。
答え ア ４８、 イ ３２、 ウ ４２９、 エ １０５、 オ １０８５
本問は、最小公倍数までを１セットとした、繰り返しの利用の基本が確認できる問題です。
「書き出し」と「ベン図」を使い分けられるように、練習をしましょう。
２問目は、「最大公約数と最小公倍数」の問題です。
【問題】次の各問いに答えなさい。ただし、解答は答えのみを解答用紙に書きなさい。
（１）異なる２つの整数（ Ａ ）、（ Ｂ ）の最大公約数が６、最小公倍数が４２０となるとき、（ Ａ ）、（ Ｂ ）にあてはまる整数の組をすべて求め、解答らんの表に書き入れなさい。解答らんは全部使うとは限りません。ただし、（ Ａ ）にあてはまる整数よりも（ Ｂ ）にあてはまる整数の方が大きいとします。
【記入例】（ Ａ ）＝２、（ Ｂ ）＝１１のときは、次のように書きます。
（２）異なる３つの整数１２、６０、（ Ｃ ）の最大公約数が６、最小公倍数が４２０となるとき、（ Ｃ ）にあてはまる整数をすべて求め、解答らんの表に書き入れなさい。解答らんは全部使うとは限りません。
（３）異なる３つの整数（ Ｄ ）、６０、（ Ｅ ）の最大公約数が６、最小公倍数が４２０となるとき、（ Ｄ ）、（ Ｅ ）にあてはまる整数の組をすべて求め、解答らんの表に書き入れなさい。解答らんは全部使うとは限りません。ただし、（ Ｄ ）にあてはまる整数は６０より小さく１２とは異なる整数とします。また、（ Ｅ ）にあてはまる整数は、６０より大きい整数とします。
（巣鴨中学校 ２０２４年 問題３ 問題文一部変更）
【考え方】
（１）
「逆割り（すだれ算）」を利用します。
Ａ’×Ｂ’＝４２０÷６＝７０
なので、
（Ａ’、Ｂ’）＝（１、７０）、（２、３５）、（５、１４）、（７、１０）
の４つの組が考えられます。
Ａ’とＢ’は１以外の公約数を持ちません（互いに素）が、この４つの組はどれもこの条件を満たしています。
Ａ＝Ａ’×６、Ｂ＝Ｂ’×６
ですから、
（Ａ、Ｂ）＝（６、４２０）、（１２、２１０）、（３０、８４）、（４２、６０）
です。
（２）
１２、６０、Ｃの３つの数は少なくとも最大公約数の６で割ることができます。
さらに、２と１０は２で割り切れますが、もし、Ｃ’が２で割り切れると最大公約数が
６×２＝１２
となりますから、Ｃ’は２で割り切れないことが分かります。
このとき、
Ｃ’＝４２０÷（６×２×１×５）＝７
ですから、
Ｃ＝７×６＝４２
です。
また、Ｃ’が５で割り切れると、次のようになります。
このとき、
Ｃ”＝４２０÷（６×２×５×１×１）＝７
ですから、
Ｃ＝７×６×５＝２１０
です。
（３）
３つの数の最大公約数が６なので、ＤとＥは６の倍数です。
Ｄは「６０より小さく１２とは異なる」という条件がありますから、
６×（１０より小さい２以外の整数）
です。
さらに、３つの数の最小公倍数は
４２０＝６×２×５×７
なので、Ｄは
６、６×５＝３０、６×７＝４２
の３通りとなります。
また、Ｅは「６０より大きい」という条件がありますから、
６×（１０より大きい整数）
です。
さらに、３つの数の最小公倍数は
４２０＝６×２×５×７
なので、Ｅは
６×２×７＝８４、６×５×７＝２１０、６×２×５×７＝４２０
の３通りとなります。
これらについて、調べます。
以上から、
（Ｄ、Ｅ）＝（６、８４）、（６、２１０）、（６、８４０）、（３０、８４）、（４２、８４）、（４２、２１０）、（４２、４２０）
です。
本問は、最大公約数と最小公倍数からあてはまる数を求める考え方が確認できる問題です。
（１）は定番問題ですから、もし正解できなかったときは、すぐに復習をしましょう。
（２）は順に調べていくことができるので、（１）が解けるときはこの問題まで正解したいところです。
（３）は、（１）、（２）を正解できたらチャレンジしてみましょう。
今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「約数と倍数」の大問形式の問題をご紹介しました。
１問目は、次回に予定してる「規則性」とも関係がありますので、間違えるようでしたら、「繰り返し」問題のおさらいをしておきましょう。
