第716回 男子中の入試問題 平面図形 5
「第７１６回 男子中の入試問題 平面図形 ５」
ここまで、近年に男子中の入試で出された「平面図形」の問題について考えています。
今回は「移動」がテーマの問題を取り扱います。
１問目は「点の移動」の基本問題です。
【問題】点Ｐは、図１のような図形の周りを毎秒２㎝の速さで、Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅの順に移動します。図２は、点Ｐが出発してからの時間と、三角形ＰＡＥの面積の関係を表しています。
（１）ＡＢの長さは何㎝ですか。
（２）ＡＥの長さは何㎝ですか。
（３）出発してから７秒後の三角形ＰＡＥの面積は何㎠ですか。
（佼成学園中学校 ２０２４年 問題３）
【考え方】
（１）
点Ｐが図形の頂点を通過するとき、グラフが折れ曲がります。
グラフより、点ＰはＡからＢまで移動するのに５秒かかることがわかります。
２㎝/秒×５秒＝１０㎝
答え １０㎝
（２）
５秒後に点ＰはＢにあり、そのときの三角形ＰＡＥの面積は６０㎠です。
ＡＥ×１０㎝÷２＝６０㎠ → ＡＥ＝６０㎠×２÷１０㎝＝１２㎝
答え １２㎝
（３）
点Ｐは７秒間に
２㎝/秒×７秒＝１４㎝
移動しますから、７秒後にはＢＣ上の
ＢＰ＝１４㎝－１０㎝＝４㎝
の位置にあります。
また、点ＰはＢからＣまで移動するのに
１０秒－５秒＝５秒
ＣからＤまで移動するのに
１３秒－１０秒＝３秒
ＤからＥまで移動するのに
１４秒－１３秒＝１秒
かかりますから、
ＢＣ＝２㎝/秒×５秒＝１０㎝
ＣＤ＝２㎝/秒×３秒＝６㎝
ＤＥ＝２㎝/秒×１秒＝２㎝
です。
右上図で、三角形ＢＣＦと三角形ＰＣＧは相似で、相似比は
ＢＣ：ＰＣ＝１０㎝：（１０㎝－４㎝）＝５：３
ですから、ＢＦ：ＰＧも５：３です。
（１０㎝－２㎝）：ＰＧ＝５：３ → ＰＧ＝８㎝×３÷５＝４.８㎝
ですから、７秒の三角形ＰＡＥの高さは
４.８㎝＋２㎝＝６.８㎝
です。
１２㎝×６.８㎝÷２＝４０.８㎠
答え ４０.８㎠
本問は、点が移動する時間と面積のグラフの読み取りが確認できる問題です。
なお、（３）では、面積が変化する割合から答えを求めることもできます。
１２㎝×２㎝÷２＝１２㎠ … １０秒後の面積
ですから、５秒から１０秒後までは
（６０㎠－１２㎠）÷５秒＝９.６㎠/秒
の割合で面積が減ります。
６０㎠－９.６㎠秒×（７秒－５秒）＝４０.８㎠ … ７秒後の面積
２問目は「図形の転がり移動」の問題です。
【問題】図は、２点ＡとＢを結んだまっすぐな線の上に、半径３㎝の半円と半径３㎝のおうぎ形２つをすき間なく並べたものです。この図形の周りを、半径３㎝の円が離れないようにして１周します。円の中心Ｏが動いたあとの線の長さを求めなさい。円周率は、３.１４を用いなさい。
（立教新座中学校 ２０２４年 問題１－（５） 問題文一部変更）
【考え方】
円が１周する様子を作図します。
（図１）
水色のおうぎ形と点Ｃで接している円Ｏの中心は、Ｃを中心に半径３㎝、中心角９０度のおうぎ形の弧をえがきます。
（図２）
三角形ＯＡＰはＯＡ＝ＡＰ＝ＰＯ＝６㎝の正三角形ですから、水色のおうぎ形と点Ｃで接していた円Ｏの中心は、Ａを中心に半径６㎝、中心角３０度のおうぎ形の弧をえがきます。
（図３）
三角形Ｏ’ＰＢも正三角形ですから、緑色の半円と点Ｄで接していた円Ｏの中心は、Ｐを中心に半径６㎝、中心角６０度のおうぎ形の弧をえがきます。
（図４）
円Ｏの中心は、Ｂを中心に半径６㎝、中心角３０度のおうぎ形の弧、さらにＦを中心に、半径３㎝、中心角９０度のおうぎ形の弧をえがきます。
（図５）
円Ｏは折れ線ＦＢＡＣから離れないように動いて、１周し終えます。
３㎝×２×３.１４×（９０度×４）/３６０度＋６㎝×２×３.１４×（３０度＋６０度＋３０度）/３６０度＋３㎝×２＋１２㎝＝４９.４㎝
答え ４９.４㎝
本問は、円が円周の一部や直線にそって転がるときの作図を確認できる問題です。
円やおうぎ形の周上を転がるときは、回転の中心がその円やおうぎ形の中心となることに注意をします。
３問目も「図形の転がり移動」に関する問題です。
【問題】１辺の長さが５㎝の正三角形ＡＢＣの各頂点を中心とする半径５㎝の３つの円があります。３つの円の共通部分を図形Ｄとします。
図形Ｄが直線上をすべることなく転がるとき、図形Ｄが通る部分として適切なものを（ア）～（エ）から選びなさい。
（巣鴨中学校 ２０２４年 問題４－（２） 問題文一部変更）
【考え方】
図形Ｄは、始めに点Ｂを中心に赤線のおうぎ形の半径ＡＢが直線と垂直になるまで回転します。
次に、弧ＢＣが直線から離れないように、おうぎ形の半径ＡＣが直線と垂直になるまで転がります。
このとき、点Aは青色の円の中心と考えることができます。
円が直線にそって転がるとき、円の中心は直線と平行に動きますから、点Ａは図のア青色太線のように動きます。
ここまで作図を進めると、（ア）、（ウ）、（エ）のような「曲線」をえがかないことがわかります。
答え （イ）
本問は、中心角の大きさが６０度のおうぎ形を３つ組み合わせた図形（「ルーローの三角形」と呼ばれます）の転がり方を確認できる問題です。
組み合わさっているおうぎ形１つ分の動きに着目して作図をすることがポイントです。
今回は、２０２４年度に男子中の入試で出された「移動」をテーマとした問題をご紹介しました。
１問目のグラフの読み取りや２問目の作図方法は大切な考え方です。
もし、正解できない問題があればどこで間違えたかを調べ、類題でおさらいをしましょう。
